Перед определителями понадобится объяснить некоторые вещи.

Перестановки

Конечное множество пронумерованных элементов можно выстроить в каком-либо порядке разными способами. Такие способы называются перестановками. Ранее мы выяснили, что число перестановок составляет $P_{n}=n!$.

Переставляя местами элементы, можно выстроить их в порядке возрастания номеров («навести порядок»). При этом если в данной перестановке можно навести порядок за чётное число шагов, то нет никакого способа сделать это за нечётное число шагов, и такие перестановки называют чётными. И наоборот: если в данной перестановке можно навести порядок за нечётное число шагов, то нет никакого способа сделать это за чётное число шагов, и такие перестановки называют нечётными.

Пример: возьмём перестановку $\left(2,3,5,4,1\right)$, и начнём менять местами элементы. Нижней скобкой показывается, какие именно элементы поменяются на данном шаге:

\[ 1)\quad\left(\underbrace{2,3,5,4,1}\right) \] \[ 2)\quad\left(1,\underbrace{3,5,4,2}\right) \] \[ 3)\quad\left(1,2,\underbrace{5,4,3}\right) \] \[ \quad\quad\left(1,2,3,4,5\right) \] Мы расставили в порядке возрастания за три шага – перестановка нечётная.

Задание: Определить чётность перестановок \[ \left(5,4,3,2,1\right) \] \[ \left(6,4,5,2,3,1\right) \] \[ \left(1,2,4,5,6,3\right) \] \[ \left(1,2,4,3,5,9,8,7,6\right) \] \[ \left(4,3,2,1,5,9,8,7,6\right) \] \[ \left(1,3,5,\dots,2n-1,2,4,6,\dots,2n\right) \]

Определители по определению

Каждой квадратной матрице размера $n\times n$ соответствует число, называемое определителем. Определителем называется сумма $n!$ произведений элементов матрицы, выбранных (всевозможными способами) по одному из каждого столбца на различных строках и взятых со знаком плюс в случае четной перестановки номеров строк и со знаком минус в случае нечетной перестановки. Обозначается определитель матрицы $A$ как $\det A$ или $\left| A\right| $ (как модуль, но это не модуль).

Матрице с $n=1$, у которой один элемент, соответствует определитель, равный этому числу: \[ A=\left(a\right)\quad\Longrightarrow\quad\det A=a. \] Вычислим определитель матрицы $2\times2$:

\[ \left(\begin{array}{cc} a & b\\ c & d \end{array}\right) \] В первое произведение возьмём элемент $a_{11}=a$. Так как элементы берутся по одному из каждого столбца, а элемент $a$ стоял в первом, из первого столбца больше ничего брать нельзя. Так как элементы берутся на различных строках, а элемент $a$ стоял на первой, из второго столбца мы не можем взять элемент $a_{12}=b$, а можем только $a_{22}=d$. Так составилась первое произведение $ad=a_{11}a_{22}$. При номерах столбцов, выстроенных в порядке возрастания, номера строк 12 образуют чётную перестановку, так как требуют 0 шагов для «наведения порядка», а 0 – чётное число. \[ \left(\begin{array}{cc} \boxed{a} & b\\ c & \boxed{d} \end{array}\right) \] Составим второе произведение. Из первого столбца теперь возьмём элемент $a_{21}=c$ (больше в нём нет элементов). Дальше, исключая первый столбец и вторую строку, получим что домножить его можно только на элемент $a_{12}=b$. \[ \left(\begin{array}{cc} a & \boxed{b}\\ \boxed{c} & d \end{array}\right) \] $cb=a_{21}a_{12}$, номера строк 21 образуют нечётную перестановку, так как требуют одного шага для «наведения порядка», а значит, это произведение войдёт с минусом. Два произведения достаточно, так как $2!=2$, в иттоге \[ \det\left(\begin{array}{cc} a & b\\ c & d \end{array}\right)\equiv\left|\begin{array}{cc} a & b\\ c & d \end{array}\right|=ad-bc. \] Например: \[ \left|\begin{array}{cc} 3 & 5\\ 5 & 3 \end{array}\right|=3\cdot3-5\cdot5=9-15=-6. \] Вычислим теперь определитель матрицы $3\times3$: \[ A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3\\ 5 & 1 & 4\\ 3 & 2 & 5 \end{array}\right) \] Взять всевозможными способами по одному элементу из каждого столбца на различных строках можно по такой схеме (сначала я выбирал всеми способами из первого столбца первый элемент, потом второй, потом третий): \[ \left(\begin{array}{ccc} \boxed{1} & 2 & 3\\ 5 & \boxed{1} & 4\\ 3 & 2 & \boxed{5} \end{array}\right)\quad\left(\begin{array}{ccc} \boxed{1} & 2 & 3\\ 5 & 1 & \boxed{4}\\ 3 & \boxed{2} & 5 \end{array}\right)\quad\left(\begin{array}{ccc} 1 & \boxed{2} & 3\\ \boxed{5} & 1 & 4\\ 3 & 2 & \boxed{5} \end{array}\right)\quad\left(\begin{array}{ccc} 1 & \boxed{2} & 3\\ 5 & 1 & \boxed{4}\\ \boxed{3} & 2 & 5 \end{array}\right)\quad\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & \boxed{3}\\ \boxed{5} & 1 & 4\\ 3 & \boxed{2} & 5 \end{array}\right)\quad\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & \boxed{3}\\ 5 & \boxed{1} & 4\\ \boxed{3} & 2 & 5 \end{array}\right) \] Номера строк в произведениях были, соответственно, такие: \[ \left(1,2,3\right)\quad\left(1,3,2\right)\quad\left(2,1,3\right)\quad\left(2,3,1\right)\quad\left(3,1,2\right)\quad\left(3,2,1\right) \] Чётность и минусы: \[ 1\quad-1\quad-1\quad1\quad1\quad-1 \] Составляем из всего этого определитель: \[ \det A=1\cdot1\cdot5-1\cdot4\cdot2-2\cdot5\cdot5+2\cdot4\cdot3+3\cdot5\cdot2-3\cdot1\cdot3= \] \[ =5-8-50+24+30-9=-3-5=-8. \]

Задание: вычислить определители матриц

Свойства определителей

Свойства частные и мелкие

Свойство 1. При транспонировании квадратной матрицы значение определителя не меняется, т. е. \[ \det A^{T}=\det A \]

Свойство 2. При перестановке двух столбцов (строк) в матрице ее определитель меняет знак.

Следствие свойства 2. Определитель матрицы, имеющей 2 одинаковых столбца (строки), равен нулю.

Свойство 3. Определитель матрицы, имеющей нулевой столбец (строку) равен нулю.

Свойство 4. Общий множитель у всех элементов столбца (строки) можно вынести за знак определителя.

Свойство 5. Определитель не изменится, если к элементам столбца (строки) прибавить соответствующие элементы другого столбца (строки), умноженного на какое-либо число.

Разложение определителя по строке (столбцу)

Определитель можно разложить так: \begin{equation} \det\left(A\right)=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}A_{ik}=\sum_{k=1}^{n}a_{ki}A_{ki},\label{razl} \end{equation} где $A_{ik}$ называется алгебраическим дополнением элемента $a_{ik}$: \[ A_{ik}=\left(-1\right)^{i+k}M_{ik}. \] В свою очередь, $M_{ik}$ – определитель матрицы, которая получается из матрицы $A$ вырезанием $i$-й строки и $k$-го столбца (он называется минором).

Пример: разложим по третьей строке определитель \[ \left|\begin{array}{crcc} 2 & -3 & 4 & 1\\ 4 & -2 & 3 & 2\\ a & b & c & d\\ 3 & -1 & 4 & 3 \end{array}\right|= \] \[ =a\cdot\left(-1\right)^{3+1}\cdot\left|\begin{array}{rcc} -3 & 4 & 1\\ -2 & 3 & 2\\ -1 & 4 & 3 \end{array}\right|+b\cdot\left(-1\right)^{3+2}\cdot\left|\begin{array}{ccc} 2 & 4 & 1\\ 4 & 3 & 2\\ 3 & 4 & 3 \end{array}\right|+c\cdot\left(-1\right)^{3+3}\cdot\left|\begin{array}{crc} 2 & -3 & 1\\ 4 & -2 & 2\\ 3 & -1 & 3 \end{array}\right|+d\cdot\left(-1\right)^{3+4}\cdot\left|\begin{array}{crc} 2 & -3 & 4\\ 4 & -2 & 3\\ 3 & -1 & 4 \end{array}\right|= \] \[ =a\left|\begin{array}{rcc} -3 & 4 & 1\\ -2 & 3 & 2\\ -1 & 4 & 3 \end{array}\right|-b\left|\begin{array}{ccc} 2 & 4 & 1\\ 4 & 3 & 2\\ 3 & 4 & 3 \end{array}\right|+c\left|\begin{array}{crc} 2 & -3 & 1\\ 4 & -2 & 2\\ 3 & -1 & 3 \end{array}\right|-d\left|\begin{array}{crc} 2 & -3 & 4\\ 4 & -2 & 3\\ 3 & -1 & 4 \end{array}\right|= \] определители 3х3 считать уже умеем: \[ =8a-\left(-15\right)b+12c-19d=8a+15b+12c-19d. \]

Минус применения разложения по строке в чистом виде – это то, что миноры начинают злокачественно разрастаться. Для того, чтобы уменьшить масштабы этого явления, лучше сначала применить преобразования по свойствам, изложенным в подразделе выше.

Пример: вычислим определитель, добавляя строки, умноженные на общие множители, к другим строкам, указанным стрелками (также вынесем 3 из нижней строки): \[ \left|\begin{array}{rrrrrr} 4 & 4 & -1 & 0 & -1 & 8\\ 2 & 3 & 7 & 5 & 2 & 3\\ 3 & 2 & 5 & 7 & 3 & 2\\ 1 & 2 & 2 & 1 & 1 & 2\\ 1 & 7 & 6 & 6 & 5 & 7\\ 2 & 1 & 1 & 2 & 2 & 1 \end{array}\right|\begin{array}{c} \\\\\\\cdot1\\ \\\leftarrow \end{array}=\left|\begin{array}{rrrrrr} 4 & 4 & -1 & 0 & -1 & 8\\ 2 & 3 & 7 & 5 & 2 & 3\\ 3 & 2 & 5 & 7 & 3 & 2\\ 1 & 2 & 2 & 1 & 1 & 2\\ 1 & 7 & 6 & 6 & 5 & 7\\ 3 & 3 & 3 & 3 & 3 & 3 \end{array}\right|=3\left|\begin{array}{rrrrrr} 4 & 4 & -1 & 0 & -1 & 8\\ 2 & 3 & 7 & 5 & 2 & 3\\ 3 & 2 & 5 & 7 & 3 & 2\\ 1 & 2 & 2 & 1 & 1 & 2\\ 1 & 7 & 6 & 6 & 5 & 7\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right|\begin{array}{c} \\\\\\\leftarrow\\ \\\cdot\left(-1\right) \end{array}=3\left|\begin{array}{rrrrrr} 4 & 4 & -1 & 0 & -1 & 8\\ 2 & 3 & 7 & 5 & 2 & 3\\ 3 & 2 & 5 & 7 & 3 & 2\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1\\ 1 & 7 & 6 & 6 & 5 & 7\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right|= \] Вычтем первый столбец из остальных, потом разложим по нижней строке. В ней остался один ненулевой элемент, потому в сумме в (\ref{razl}) будет одно слагаемое: \[ =3\left|\begin{array}{rrrrrr} 4 & 0 & -5 & -4 & -5 & 4\\ 2 & 1 & 5 & 3 & 0 & 1\\ 3 & -1 & 2 & 4 & 0 & -1\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1\\ 1 & 6 & 5 & 5 & 4 & 6\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right|=-3\left|\begin{array}{rrrrr} 0 & -5 & -4 & -5 & 4\\ 1 & 5 & 3 & 0 & 1\\ -1 & 2 & 4 & 0 & -1\\ 1 & 1 & 0 & 0 & 1\\ 6 & 5 & 5 & 4 & 6 \end{array}\right|=-3\left|\begin{array}{rrrrr} 0 & -5 & -4 & -5 & 4\\ 1 & 5 & 3 & 0 & 0\\ -1 & 2 & 4 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 6 & 5 & 5 & 4 & 0 \end{array}\right|= \] Разложим по правому столбцу: \[ =-3\cdot4\left|\begin{array}{rrrr} 1 & 5 & 3 & 0\\ -1 & 2 & 4 & 0\\ 1 & 1 & 0 & 0\\ 6 & 5 & 5 & 4 \end{array}\right|= \] Вычтем нижнюю строку из первой и добавим ко второй: \[ =-3\cdot4\cdot4\left|\begin{array}{rrr} 1 & 5 & 3\\ -1 & 2 & 4\\ 1 & 1 & 0 \end{array}\right|=-3\cdot4\cdot4\left|\begin{array}{rrr} 0 & 4 & 3\\ 0 & 3 & 4\\ 1 & 1 & 0 \end{array}\right|=-3\cdot4\cdot4\left|\begin{array}{rr} 4 & 3\\ 3 & 4 \end{array}\right|=-48\left(16-9\right)=-48\cdot7=-336 \]

Задание: вычислить определители матриц

Задание для тех, кому скучно: