Напомню известное со школы, в конце добавлю менее известное.

Векторная алгебра

Вектором называется направленный отрезок. Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым $\vec{0}$. Нулевой вектор не имеет определенного направления. Два вектора считаются равными, если они одинаковой длины, параллельны одной и той же прямой и имеют одинаковое направление.

Суммой двух векторов называют вектор, начало которого есть начало одного из векторов, а конец – конец другого вектора, при условии, что начало этого вектора приложено к концу первого. Вычитание есть операция, обратная сложению. При умножении вектора на число длина вектора умножается на абсолютную величину этого числа, а направление сохраняется, если это число положительное, и меняется на противоположное, если умножаемое число отрицательно.

Выражение $\alpha\vec{a}+\beta\vec{b}+\dots+\gamma\vec{c}$, где $\alpha,\beta,\dots,\gamma$ - некоторые числа, называется линейной комбинацией векторов $\vec{a},\vec{b},\dots,\vec{c}$. Система векторов $\vec{a},\vec{b},\dots,\vec{c}$ называется линейно зависимой, если один из векторов системы есть линейная комбинация остальных. Если система векторов не является зависимой, то она называется линейно независимой.

Если по линейно независимой системе векторов $\vec{a},\vec{b},\dots,\vec{c}$ любой вектор $\vec{p}$ можно разложить, то есть представить в виде линейной комбинации векторов $\vec{a},\vec{b},\dots,\vec{c}$ \[ \vec{p}=\alpha\vec{a}+\beta\vec{b}+\dots+\gamma\vec{c}, \] то используемая для разложения система векторов $\vec{a},\vec{b},\dots,\vec{c}$ называется базисом. Базис может быть задан в пространстве (и тогда состоит из трёх векторов) или на какой-либо плоскости, если используется для разложения векторов на этой плоскости (и тогда состоит из двух векторов). Вводятся базисы и в пространствах более высокой размерности. Числа $\alpha,\beta,\dots,\gamma$ называются координатами вектора $\vec{p}$ в базисе $\vec{a},\vec{b},\dots,\vec{c}$. При действиях с векторами те же действия совершаются с их координатами: при умножении вектора на число – каждая координата умножается на это число; при сложении векторов соответствующие координаты складываются. Часто координаты векторов записываются в виде столбцов.

Два линейно зависимых вектора называются коллинеарными и они параллельны одной и той же прямой. Три линейно зависимых вектора называются компланарными, и они параллельны одной и той же плоскости. Четыре вектора всегда между собой линейно зависимы.

Пример: Проверить, будут ли компланарны векторы $\vec{l}$, $\vec{m}$ и $\vec{n}$; в случае положительного ответа указать линейную зависимость, их связывающую (здесь $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ – три некомпланарных вектора):

\[ \vec{l}=2\vec{a}-\vec{b}-\vec{c},\quad\vec{m}=2\vec{b}-\vec{c}-\vec{a},\quad\vec{n}=2\vec{c}-\vec{a}-\vec{b} \] Компланарные векторы линейно зависимы, что означает, что один из векторов системы есть линейная комбинация остальных. Если разложить каждый вектор $\vec{l}$, $\vec{m}$ и $\vec{n}$ по базису (а именно в таком виде они в задаче даны), то аналогичное будет верно для столбцов координат: один будет линейной комбинацией остальных. Но тогда матрица, составленная из этих столбцов \[ \left(\begin{array}{rrr} 2 & -1 & -1\\ -1 & 2 & -1\\ -1 & -1 & 2 \end{array}\right), \] будет иметь нулевой определитель; а значит, и её ранг будет меньше трёх. Верно и обратное: если ранг меньше трёх, то векторы компланарны. Вычислим ранг: \[ \mathrm{rk}\,\left(\begin{array}{rrr} 2 & -1 & -1\\ -1 & 2 & -1\\ -1 & -1 & 2 \end{array}\right)=\mathrm{rk}\,\left(\begin{array}{rrr} 0 & 0 & -1\\ -3 & 3 & -1\\ 3 & -3 & 2 \end{array}\right)=\mathrm{rk}\,\left(\begin{array}{rrr} 0 & 0 & -1\\ 0 & 3 & -1\\ 0 & -3 & 2 \end{array}\right)=\mathrm{rk}\,\left(\begin{array}{rrr} 0 & 0 & 1\\ 0 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)=\mathrm{rk}\,\left(\begin{array}{rrr} 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)=2, \] векторы компланарны

Задание: (та же задача) 2) $\vec{l}=\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}$, $\vec{m}=\vec{b}+\vec{c}$, $\vec{n}=-\vec{a}+\vec{c}$; 3) $\vec{l}=\vec{c}$, $\vec{m}=\vec{a}-\vec{b}-\vec{c}$, $\vec{n}=\vec{a}-\vec{b}+\vec{c}$.

Скалярное произведение

Скалярное произведение $\vec{a}\cdot\vec{b}=\left(\vec{a},\vec{b}\right)$ векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ есть произведение длин этих векторов, умноженное на косинус угла между ними: \[ \left(\vec{a},\vec{b}\right)=\left|\vec{a}\right|\left|\vec{b}\right|\cos\hat{\vec{a}\vec{b}}. \]

Имеет место $\left(\vec{a},\vec{b}\right)=\left|\vec{a}\right|b_{a}=\left|\vec{b}\right|a_{b}$, где $b_{a}$ – проекция вектора $\vec{b}$ на вектор $\vec{a}$, а $a_{b}$ – проекция вектора $\vec{a}$ на вектор $\vec{b}$.

Если в декартовой системе координат $\vec{a}$ имеет координаты $\left(x_{a},y_{a}z_{a}\right)$ и $\vec{b}$ имеет координаты $\left(x_{b},y_{b}z_{b}\right)$, то $\left(\vec{a},\vec{b}\right)=x_{a}x_{b}+y_{a}y_{b}+z_{a}z_{b}$. Скалярное произведение линейно по каждому сомножителю: \[ \left(\vec{a},\alpha\vec{b}+\beta\vec{c}\right)=\alpha\left(\vec{a},\vec{b}\right)+\beta\left(\vec{a},\vec{c}\right), \] \[ \left(\alpha\vec{a}+\beta\vec{b},\vec{c}\right)=\alpha\left(\vec{a},\vec{c}\right)+\beta\left(\vec{b},\vec{c}\right); \] не зависит от порядка сомножителей: \[ \left(\vec{a},\vec{b}\right)=\left(\vec{b},\vec{a}\right). \] Кроме того, \[ \left|\vec{a}\right|^{2}=\left(\vec{a},\vec{a}\right). \]

Задание:

1) Найти длину вектора $\vec{a}=3\vec{m}-4\vec{n}$, зная, что $\vec{m}$ и $\vec{n}$ – взаимно перпендикулярные орты.

2) В прямоугольном равнобедренном треугольнике проведены медианы из вершин острых углов. Вычислить угол между ними.

3) Зная, что $\left|\vec{a}\right|=2$, $\left|\vec{b}\right|=5$ и $\hat{\vec{a}\vec{b}}=\frac{2\pi}{3}$, определить, при каком значении коэффициента $\alpha$ векторы $\vec{p}=\alpha\vec{a}+17\vec{b}$ и $\vec{q}=3\vec{a}-\vec{b}$ окажутся перпендикулярными.

4) Найти проекцию вектора $\vec{A}=10\vec{m}+2\vec{n}$ на ось, имеющую направление вектора $\vec{B}=5\vec{m}-12\vec{n}$, где $\vec{m}$ и $\vec{n}$ – взаимно перпендикулярные орты. Вычислить углы между осью проекций и единичными векторами $\vec{m}$ и $\vec{n}$.

Векторное произведение

Векторное произведение $\vec{a}\times\vec{b}=\left[\vec{a},\vec{b}\right]$ векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ есть такой третий вектор $\vec{p}$, который удовлетворяет следующим трем условиям:

1. длина его равна площади параллелограмма, построенного на векторах $\vec{a}$ и $\vec{b}$ как на сторонах ($\left|\vec{a}\right|\left|\vec{b}\right|\sin\hat{\vec{a}\vec{b}}$);
2. вектор $\vec{p}$ перпендикулярен каждому из векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$;
3. $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{p}$ – правая тройка векторов; то есть из вершины вектора $\vec{p}$ поворот от $\vec{a}$ к $\vec{b}$ виден против часовой стрелки.

Если $\vec{a}$ и $\vec{b}$ заданы своими координатами $\vec{a}=\vec{i}x_{a}+\vec{j}y_{a}+\vec{k}z_{a}$ и $\vec{b}=\vec{i}x_{b}+\vec{j}y_{b}+\vec{k}z_{b}$ в прямоугольной правой декартовой системе координат, то \[ \left[\vec{a},\vec{b}\right]=\left|\begin{array}{ccc} \vec{i} & x_{a} & x_{b}\\ \vec{j} & y_{a} & y_{b}\\ \vec{k} & z_{a} & z_{b} \end{array}\right|=\vec{i}\left|\begin{array}{cc} y_{a} & y_{b}\\ z_{a} & z_{b} \end{array}\right|-\vec{j}\left|\begin{array}{cc} x_{a} & x_{b}\\ z_{a} & z_{b} \end{array}\right|+\vec{k}\left|\begin{array}{cc} x_{a} & x_{b}\\ y_{a} & y_{b} \end{array}\right| \] Векторное произведение при перестановке множителей меняет знак \[ \left[\vec{a},\vec{b}\right]=-\left[\vec{b},\vec{a}\right]. \] Векторное произведение линейно по каждому сомножителю \[ \left[\vec{a},\alpha\vec{b}+\beta\vec{c}\right]=\alpha\left[\vec{a},\vec{b}\right]+\beta\left[\vec{a},\vec{c}\right], \] \[ \left[\alpha\vec{a}+\beta\vec{b},\vec{c}\right]=\alpha\left[\vec{a},\vec{c}\right]+\beta\left[\vec{b},\vec{c}\right]. \] Векторный квадрат вектора равен нулю: \[ \left[\vec{a},\vec{a}\right]=0. \]

Пример: Зная, что векторы $\vec{a}=\alpha\vec{i}+5\vec{j}-\vec{k}$ и $\vec{b}=3\vec{i}+\vec{j}+\gamma\vec{k}$ коллинеарны, вычислить коэффициенты $\alpha$ и $\gamma$.

Если $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны, то $\left[\vec{a},\vec{b}\right]=0$; \[ \left[\vec{a},\vec{b}\right]=\left|\begin{array}{ccc} \vec{i} & \alpha & 3\\ \vec{j} & 5 & 1\\ \vec{k} & -1 & \gamma \end{array}\right|=\vec{i}\left(5\gamma+1\right)-\vec{j}\left(\alpha\gamma+3\right)+\vec{k}\left(\alpha-15\right)=0, \] \[ \left\{ \begin{array}{l} 5\gamma+1=0,\\ \alpha\gamma+3=0,\\ \alpha-15=0, \end{array}\right. \] из третьего $\alpha=15$, из первого $\gamma=-\frac{1}{5}$, для проверки подставим во второе: $\alpha\gamma+3=15\left(-\frac{1}{5}\right)+3=-3+3=0$ - выполняется.

Задание:

1) При каком значении коэффициента $\alpha$ векторы $\vec{p}=\alpha\vec{a}+5\vec{b}$ и $\vec{q}=2\vec{a}-\vec{b}$ окажутся коллинеарными, если $\vec{a}$ и $\vec{b}$ не коллинеарны?

2) Если $\vec{A}$ и $\vec{B}$ даны, можно ли подобрать $\vec{X}$ так, чтобы $\vec{A}=\left[\vec{B}\vec{X}\right]$? Всегда ли задача решаема и сколько она имеет решений?

3) Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах $\vec{P}=2\vec{A}+3\vec{B}$ и $\vec{Q}=\vec{A}-4\vec{B}$, где $\vec{A}$ и $\vec{B}$ единичные взаимно перпендикулярные векторы.

4) Вычислить проекцию вектора $\vec{A}=3\vec{p}-12\vec{q}+4\vec{r}$ на ось, имеющую направление вектора $\vec{B}=\left[\left(\vec{p}-2\vec{r}\right)\left(\vec{p}+3\vec{q}-4\vec{r}\right)\right]$, если $\vec{p}$, $\vec{q}$ и $\vec{r}$ – взаимно перпендикулярные орты.

Двойные произведения векторов

Смешанное произведение $\left(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\right)$ векторов $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ есть $\left(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\right)=\left(\left[\vec{a},\vec{b}\right],\vec{c}\right)=\left(\vec{a},\left[\vec{b},\vec{c}\right]\right)$.

Двойное векторное произведение: $\left[\vec{a},\left[\vec{b},\vec{c}\right]\right]$. Если в правой прямоугольной декартовой системе координат векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ имеют координаты $\vec{a}=\vec{i}x_{a}+\vec{j}y_{a}+\vec{k}z_{a}$, $\vec{b}=\vec{i}x_{b}+\vec{j}y_{b}+\vec{k}z_{b}$ и $\vec{c}=\vec{i}x_{c}+\vec{j}y_{c}+\vec{k}z_{c}$, то \[ \left(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\right)=\left|\begin{array}{ccc} x_{a} & x_{b} & x_{c}\\ y_{a} & y_{b} & y_{c}\\ z_{a} & z_{b} & z_{c} \end{array}\right|. \] Двойное векторное произведение может быть выражено через более простые операции при помощи «правила БАЦ минус ЦАБ» : \begin{equation} \left[\vec{a},\left[\vec{b},\vec{c}\right]\right]=\vec{b}\left(\vec{a},\vec{c}\right)-\vec{c}\left(\vec{a},\vec{b}\right).\label{bac-cab} \end{equation}

Абсолютная величина смешанного произведения $\left(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\right)$ есть объем параллелепипеда, построенного на векторах $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$, как на ребрах. Если тройка $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ - правая, то $\left(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\right) > 0$, если $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ – левая тройка, то $\left(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\right) < 0$.

Пример: доказать формулу (\ref{bac-cab})

Разложим внутреннее произведение: \[ \left[\vec{b},\vec{c}\right]=\left|\begin{array}{ccc} \vec{i} & x_{b} & x_{c}\\ \vec{j} & y_{b} & y_{c}\\ \vec{k} & z_{b} & z_{c} \end{array}\right|=\left(\begin{array}{l} y_{b}z_{c}-z_{b}y_{c}\\ z_{b}x_{c}-x_{b}z_{c}\\ x_{b}y_{c}-y_{b}x_{c} \end{array}\right), \] теперь вместе с внешним: \[ \left[\vec{a},\left[\vec{b},\vec{c}\right]\right]=\left|\begin{array}{ccc} \vec{i} & x_{a} & y_{b}z_{c}-z_{b}y_{c}\\ \vec{j} & y_{a} & z_{b}x_{c}-x_{b}z_{c}\\ \vec{k} & z_{a} & x_{b}y_{c}-y_{b}x_{c} \end{array}\right|= \] \[ =\vec{i}\left(y_{a}\left(x_{b}y_{c}-y_{b}x_{c}\right)-z_{a}\left(z_{b}x_{c}-x_{b}z_{c}\right)\right)-\vec{j}\left(x_{a}\left(x_{b}y_{c}-y_{b}x_{c}\right)-z_{a}\left(y_{b}z_{c}-z_{b}y_{c}\right)\right)+ \] \[ +\vec{k}\left(x_{a}\left(z_{b}x_{c}-x_{b}z_{c}\right)-y_{a}\left(y_{b}z_{c}-z_{b}y_{c}\right)\right). \] Рассмотрим отдельно первый компонент, соберём слагаемые с $+$ и с $-$: \[ \left(y_{a}\left(x_{b}y_{c}-y_{b}x_{c}\right)-z_{a}\left(z_{b}x_{c}-x_{b}z_{c}\right)\right)=y_{a}x_{b}y_{c}-y_{a}y_{b}x_{c}-z_{a}z_{b}x_{c}+z_{a}x_{b}z_{c}=\left(y_{a}x_{b}y_{c}+z_{a}x_{b}z_{c}\right)-\left(y_{a}y_{b}x_{c}+z_{a}z_{b}x_{c}\right)= \] Вынесем из этих групп слагаемых что можно, и обнаружим, что в первой скобке до полного скалярного произведения не хватает как раз $x_{a}x_{c}$. Добавим и вычтем $x_{b}x_{a}x_{c}$ \[ =x_{b}\left(y_{a}y_{c}+z_{a}z_{c}\right)+x_{b}x_{a}x_{c}-x_{b}x_{a}x_{c}-x_{c}\left(y_{a}y_{b}+z_{a}z_{b}\right)= \] и внесём его в соответствующие скобки: \[ =x_{b}\left(y_{a}y_{c}+z_{a}z_{c}+x_{a}x_{c}\right)-x_{c}\left(y_{a}y_{b}+z_{a}z_{b}+x_{b}x_{a}\right)= \] оба раза получим скалярное произведение \[ =x_{b}\left(\vec{a},\vec{c}\right)-x_{c}\left(\vec{a},\vec{b}\right). \] Аналогично, для второго компонента: \[ -\left(x_{a}\left(x_{b}y_{c}-y_{b}x_{c}\right)-z_{a}\left(y_{b}z_{c}-z_{b}y_{c}\right)\right)=-x_{a}x_{b}y_{c}+x_{a}y_{b}x_{c}+z_{a}y_{b}z_{c}-z_{a}z_{b}y_{c}= \] \[ =y_{b}\left(x_{a}x_{c}+z_{a}z_{c}\right)+y_{b}y_{a}y_{c}-y_{b}y_{a}y_{c}-y_{c}\left(x_{a}x_{b}+z_{a}z_{b}\right)= \] \[ =y_{b}\left(x_{a}x_{c}+z_{a}z_{c}+y_{a}y_{c}\right)-y_{c}\left(y_{b}y_{a}+x_{a}x_{b}+z_{a}z_{b}\right)= \] \[ =y_{b}\left(\vec{a},\vec{c}\right)-y_{c}\left(\vec{a},\vec{b}\right) \] и для третьего: \[ \left(x_{a}\left(z_{b}x_{c}-x_{b}z_{c}\right)-y_{a}\left(y_{b}z_{c}-z_{b}y_{c}\right)\right)=z_{b}\left(\vec{a},\vec{c}\right)-z_{c}\left(\vec{a},\vec{b}\right). \] Окончательно, \[ \left[\vec{a},\left[\vec{b},\vec{c}\right]\right]=\vec{i}\left(x_{b}\left(\vec{a},\vec{c}\right)-x_{c}\left(\vec{a},\vec{b}\right)\right)+\vec{j}\left(y_{b}\left(\vec{a},\vec{c}\right)-y_{c}\left(\vec{a},\vec{b}\right)\right)+\vec{k}\left(z_{b}\left(\vec{a},\vec{c}\right)-z_{c}\left(\vec{a},\vec{b}\right)\right)= \] \[ =\underline{\vec{i}x_{b}\left(\vec{a},\vec{c}\right)}-\vec{i}x_{c}\left(\vec{a},\vec{b}\right)+\underline{\vec{j}y_{b}\left(\vec{a},\vec{c}\right)}-\vec{j}y_{c}\left(\vec{a},\vec{b}\right)+\underline{\vec{k}z_{b}\left(\vec{a},\vec{c}\right)}-\vec{k}z_{c}\left(\vec{a},\vec{b}\right)= \] \[ =\left(\vec{i}x_{b}+\vec{j}y_{b}+\vec{k}z_{b}\right)\left(\vec{a},\vec{c}\right)-\left(\vec{i}x_{c}+\vec{j}y_{c}+\vec{k}z_{c}\right)\left(\vec{a},\vec{b}\right)= \] \[ =\vec{b}\left(\vec{a},\vec{c}\right)-\vec{c}\left(\vec{a},\vec{b}\right). \]

Задание:

1) Доказать, что смешанное произведение трех векторов, из которых два коллинеарны, равно нулю.

2) Вычислить объем параллелепипеда, построенного на векторах $\vec{P}=\vec{A}+\vec{B}+\vec{C}$, $\vec{Q}=\vec{A}+\vec{B}-\vec{C}$, $\vec{R}=\vec{A}-\vec{B}+\vec{C}$.

3). Проверить, компланарны ли данные векторы $\vec{p}=\vec{a}-2\vec{b}+\vec{c}$, $\vec{q}=3\vec{a}+\vec{b}-2\vec{c}$, $\vec{r}=7\vec{a}+14\vec{b}-13\vec{c}$; где $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ – взаимно перпендикулярные орты.

4) Проверить справедливость равенства $\left[\left[\vec{a},\vec{b}\right],\vec{c}\right]+\left[\left[\vec{b},\vec{c}\right],\vec{a}\right]+\left[\left[\vec{c},\vec{a}\right],\vec{b}\right]=0$.

5) Доказать компланарность векторов $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$, зная, что $\left[\vec{a},\vec{b}\right]+\left[\vec{b},\vec{c}\right]+\left[\vec{c},\vec{a}\right]=0$.

6) Можно ли найти вектор $x$, одновременно удовлетворяющий двум уравнениям: $\left(\vec{x},\vec{a}\right)=\alpha$ и $\left[\vec{x},\vec{b}\right]=\vec{c}$, где, $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ – данные векторы и $\alpha$ - данный скаляр?