Найти площадь трилистника: \[ r=a\sin3\varphi. \]
Так как $r\geqslant0$, область определения функции $r\left(\varphi\right)$ будет определяться неравенством \[ \sin3\varphi\geqslant0: \] \[ 2\pi n\leqslant3\varphi\leqslant\pi+2\pi n, \] \[ \frac{2\pi n}{3}\leqslant\varphi\leqslant\frac{\pi+2\pi n}{3}. \] В один оборот $0\leqslant\varphi\leqslant2\pi$ будут входить три области, которые будут содержать точки графика $r\left(\varphi\right)$:
1) $n=0$ \[ 0\leqslant\varphi\leqslant\frac{\pi}{3}, \]
2) $n=1$ \[ \frac{2\pi}{3}\leqslant\varphi\leqslant\pi, \]
3) $n=2$ \[ \frac{4\pi}{3}\leqslant\varphi\leqslant\frac{5\pi}{3}\quad\left(-\frac{2\pi}{3}\leqslant\varphi\leqslant-\frac{\pi}{3}\right). \] Вначале и в конце каждого такого отрезка $\sin3\varphi=0$, так что график будет каждый раз выходить и возвращаться в начало координат:
Найдём площадь каждого листа по формуле \[ S_{1}=\frac{1}{2}\int\limits_{\alpha}^{\beta}r^{2}d\varphi. \] \[ S_{1}=\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{\pi/3}r^{2}d\varphi=\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{\pi/3}a^{2}\sin^{2}3\varphi d\varphi=\frac{a^{2}}{4}\int\limits_{0}^{\pi/3}\left(1-\cos6\varphi\right)d\varphi=\frac{a^{2}}{4}\left.\left(\varphi-\frac{\sin6\varphi}{6}\right)\right|_{0}^{\pi/3}=\frac{a^{2}}{4}\left(\frac{\pi}{3}-0\right)=\frac{\pi}{12}a^{2}, \] \[ S_{2}=\frac{1}{2}\int\limits_{2\pi/3}^{\pi}a^{2}\sin^{2}3\varphi d\varphi=\frac{a^{2}}{4}\left.\left(\varphi-\frac{\sin6\varphi}{6}\right)\right|_{2\pi/3}^{\pi}=\frac{a^{2}}{4}\left(\pi-\frac{2\pi}{3}\right)=\frac{\pi}{12}a^{2}, \] \[ S_{2}=\frac{1}{2}\int\limits_{4\pi/3}^{5\pi/3}a^{2}\sin^{2}3\varphi d\varphi=\frac{a^{2}}{4}\left.\left(\varphi-\frac{\sin6\varphi}{6}\right)\right|_{4\pi/3}^{5\pi/3}=\frac{a^{2}}{4}\left(\frac{5\pi}{3}-\frac{4\pi}{3}\right)=\frac{\pi}{12}a^{2}. \] Итого: \[ S=S_{1}+S_{2}+S_{3}=3\cdot\frac{\pi}{12}a^{2}=\frac{\pi}{4}a^{2}. \]
