Я пропустил строгое доказательство этого свойства, ограничившись геометрическими рассуждениями. Теперь можно восполнить это упущение.
Пусть
a<x0<b
и
|x−x0|<min
Докажем, что
a < x < b.
Заметим два обстоятельства. Во-первых,
\min\left(\left|a-x_{0}\right|,\left|b-x_{0}\right|\right)\leqslant\left|a-x_{0}\right|,\quad\min\left(\left|a-x_{0}\right|,\left|b-x_{0}\right|\right)\leqslant\left|b-x_{0}\right|.
А во-вторых, в силу (\ref{us1})
b-x_{0} > 0,\quad a-x_{0} < 0
откуда
\left|b-x_{0}\right|=b-x_{0},\quad\left|a-x_{0}\right|=-a+x_{0}.
Рассмотрим сначала случай, когда x\geqslant x_{0}. Тогда \left|x-x_{0}\right|=x-x_{0},
и (\ref{us2}) приобретает такой вид:
x-x_{0} < \min\left(\left|a-x_{0}\right|,\left|b-x_{0}\right|\right)\leqslant\left|b-x_{0}\right|=b-x_{0}.
Укоротим цепочку неравенств:
x-x_{0} < b-x_{0},
Прибавим к обеим частям x_{0}:
\begin{equation}
x < b;\label{res1}
\end{equation}
теперь сопоставим (\ref{us1}) и рассматриваемый случай:
\begin{equation}
a < x_{0} < x.\label{res2}
\end{equation}
Объединив (\ref{res1}) и (\ref{res2}), получим искомое
a < x < b.
Аналогично для x < x_{0}:
-x+x_{0} < \min\left(\left|a-x_{0}\right|,\left|b-x_{0}\right|\right)\leqslant\left|a-x_{0}\right|=-a+x_{0},
-x+x_{0} < -a+x_{0},
-x < -a,
a < x,
x < x_{0} < b,
a < x < b.
