Страница сетевой поддержки учеников Тимура Юрьевича Альпина

В уравнении $$z_{xx}''+z_{yy}''+m^{2}z=0$$ произвести замену $$\left\{ \begin{array}{c} x=e^{u}\cos v,\\ y=e^{u}\sin v. \end{array}\right.$$

Как уже известно, $$z_{x}'=z_{u}'u_{x}'+z_{v}'v_{x}'.$$ Продифференцировав обе части по $x$, получим вторую производную, после чего воспользуемся правилом Лейбница $$z_{xx}''=\frac{\partial}{\partial x}\left(z_{u}'u_{x}'+z_{v}'v_{x}'\right)=\frac{\partial}{\partial x}z_{u}'u_{x}'+z_{u}'\frac{\partial}{\partial x}u_{x}'+\frac{\partial}{\partial x}z_{v}'v_{x}'+z_{v}'\frac{\partial}{\partial x}v_{x}'=$$ Производные $\frac{\partial}{\partial x}z_{u}'$ и $\frac{\partial}{\partial x}z_{v}'$ будут вычисляться аналогично $z_{x}'$: $$=\left(z_{uu}''u_{x}'+z_{uv}''v_{x}'\right)u_{x}'+z_{u}'u_{xx}''+\left(z_{vu}''u_{x}'+z_{vv}''v_{x}'\right)v_{x}'+z_{v}'v_{xx}''=$$ далее раскроем скобки и соберём подобные $$=z_{uu}''\left(u_{x}'\right)^{2}+2z_{uv}''u_{x}'v_{x}'+z_{vv}''\left(v_{x}'\right)^{2}+z_{u}'u_{xx}''+z_{v}'v_{xx}''.$$ По аналогии, $$z_{yy}''=z_{uu}''\left(u_{y}'\right)^{2}+2z_{uv}''u_{y}'v_{y}'+z_{vv}''\left(v_{y}'\right)^{2}+z_{u}'u_{yy}''+z_{v}'v_{yy}''.$$ Для того, чтобы воспользоваться этими формулами в нашей задаче, нам придётся получить многочисленные производные новых переменных по старым. Для этого продифференцируем уравнения замены, сначала - по $x$: $$\left\{ \begin{array}{c} 1=e^{u}u_{x}'\cos v-e^{u}\sin vv_{x}'\\ 0=e^{u}u_{x}'\sin v+e^{u}\cos vv_{x}' \end{array}\right.$$ Получили мы при этом систему линейных неоднородных уравнений, из которых найдём производные $u_{x}'$ и $v_{x}'$: $$+\begin{array}{c} \left.1=e^{u}u_{x}'\cos v-e^{u}\sin vv_{x}'\right|\cos v\\ \left.0=e^{u}u_{x}'\sin v+e^{u}\cos vv_{x}'\right|\sin v \end{array}$$ $$+\begin{array}{r} \cos v=e^{u}u_{x}'\cos^{2}v-e^{u}\sin v\cos vv_{x}'\\ 0=e^{u}u_{x}'\sin^{2}v+e^{u}\cos v\sin vv_{x}' \end{array}$$ $$\cos v=e^{u}u_{x}'$$ $$u_{x}'=e^{-u}\cos v$$ $$-\begin{array}{c} \left.1=e^{u}u_{x}'\cos v-e^{u}\sin vv_{x}'\right|\sin v\\ \left.0=e^{u}u_{x}'\sin v+e^{u}\cos vv_{x}'\right|\cos v \end{array}$$ $$-\begin{array}{r} \sin v=e^{u}u_{x}'\cos v\sin v-e^{u}\sin^{2}vv_{x}'\\ 0=e^{u}u_{x}'\sin v\cos v+e^{u}\cos^{2}vv_{x}' \end{array}$$ $$\sin v=-e^{u}v_{x}'$$ $$v_{x}'=-e^{-u}\sin v$$ Производные $u_{x}'$ и $v_{x}'$ ещё раз продифференцируем по $x$: $$u_{xx}''=\frac{\partial}{\partial x}\left(u_{x}'\right)=\frac{\partial}{\partial x}\left(e^{-u}\cos v\right)=-e^{-u}u_{x}'\cos v-e^{-u}\sin vv_{x}'=-e^{-2u}\cos^{2}v+e^{-2u}\sin^{2}v=-e^{-2u}\cos\left(2v\right)$$ $$v_{xx}''=\frac{\partial}{\partial x}\left(v_{x}'\right)=\frac{\partial}{\partial x}\left(-e^{-u}\sin v\right)=e^{-u}\sin vu_{x}'-e^{-u}\cos vv_{x}'=e^{-2u}\sin v\cos v+e^{-2u}\cos v\sin v=e^{-2u}\sin\left(2v\right)$$ Теперь, похожим образом, найдём $u_{y}'$ и $v_{y}'$: $$\left\{ \begin{array}{c} 0=e^{u}u_{y}'\cos v-e^{u}\sin vv_{y}'\\ 1=e^{u}u_{y}'\sin v+e^{u}\cos vv_{y}' \end{array}\right.$$ $$\begin{array}{r} 0=e^{u}u_{y}'\cos^{2}v-e^{u}\sin v\cos vv_{y}'\\ \sin v=e^{u}u_{y}'\sin^{2}v+e^{u}\cos v\sin vv_{y}' \end{array}$$ $$u_{y}'=e^{-u}\sin v$$ $$u_{y}'\cos v=\sin vv_{y}'$$ $$e^{-u}\sin v\cos v=\sin vv_{y}'$$ $$v_{y}'=e^{-u}\cos v$$ и их производные: $$u_{yy}''=\frac{\partial}{\partial y}\left(e^{-u}\sin v\right)=-e^{-u}u_{y}'\sin v+e^{-u}\cos vv_{y}'=-e^{-2u}\sin^{2}v+e^{-2u}\cos^{2}v=e^{-2u}\cos\left(2v\right)$$ $$v_{yy}''=\frac{\partial}{\partial y}\left(e^{-u}\cos v\right)=-e^{-u}u_{y}'\cos v-e^{-u}\sin vv_{y}'=-e^{-2u}\sin v\cos v-e^{-2u}\sin v\cos v=-e^{-2u}\sin\left(2v\right)$$ А теперь используем найденное, чтобы получить производные $z_{xx}''$ и $z_{yy}''$: $$z_{xx}''=z_{uu}''\left(u_{x}'\right)^{2}+2z_{uv}''u_{x}'v_{x}'+z_{vv}''\left(v_{x}'\right)^{2}+z_{u}'u_{xx}''+z_{v}'v_{xx}''=$$ $$=z_{uu}''\left(e^{-u}\cos v\right)^{2}-2z_{uv}''\left(e^{-u}\cos v\right)\left(e^{-u}\sin v\right)+z_{vv}''\left(-e^{-u}\sin v\right)^{2}-z_{u}'e^{-2u}\cos\left(2v\right)+z_{v}'e^{-2u}\sin\left(2v\right)=$$ $$=z_{uu}''e^{-2u}\cos^{2}v-z_{uv}''e^{-2u}\sin2v+z_{vv}''e^{-2u}\sin^{2}v-z_{u}'e^{-2u}\cos\left(2v\right)+z_{v}'e^{-2u}\sin\left(2v\right)$$ $$z_{yy}''=z_{uu}''\left(u_{y}'\right)^{2}+2z_{uv}''u_{y}'v_{y}'+z_{vv}''\left(v_{y}'\right)^{2}+z_{u}'u_{yy}''+z_{v}'v_{yy}''=$$ $$=z_{uu}''\left(e^{-u}\sin v\right)^{2}+2z_{uv}''\left(e^{-u}\sin v\right)\left(e^{-u}\cos v\right)+z_{vv}''\left(e^{-u}\cos v\right)^{2}+z_{u}'e^{-2u}\cos\left(2v\right)-z_{v}'e^{-2u}\sin\left(2v\right)=$$ $$=z_{uu}''e^{-2u}\sin^{2}v+z_{uv}''e^{-2u}\sin2v+z_{vv}''e^{-2u}\cos^{2}v+z_{u}'e^{-2u}\cos\left(2v\right)-z_{v}'e^{-2u}\sin\left(2v\right)$$ В исходном уравнении присутствовала сумма этих производных, которая хорошо упрощается, так что вычислим её отдельно: $$z_{xx}''+z_{yy}''=$$ $$=z_{uu}''e^{-2u}\cos^{2}v-z_{uv}''e^{-2u}\sin2v+z_{vv}''e^{-2u}\sin^{2}v-z_{u}'e^{-2u}\cos\left(2v\right)+z_{v}'e^{-2u}\sin\left(2v\right)+$$ $$+z_{uu}''e^{-2u}\sin^{2}v+z_{uv}''e^{-2u}\sin2v+z_{vv}''e^{-2u}\cos^{2}v+z_{u}'e^{-2u}\cos\left(2v\right)-z_{v}'e^{-2u}\sin\left(2v\right)=$$ $$=z_{uu}''e^{-2u}+0+z_{vv}''e^{-2u}+0+0=\left(z_{uu}''+z_{vv}''\right)e^{-2u}$$ Подставим эту сумму в исходное уравнение $$z_{xx}''+z_{yy}''+m^{2}z=0,$$ и получим $$\left(z_{uu}''+z_{vv}''\right)e^{-2u}+m^{2}z=0,$$ и окончательно, $$z_{uu}''+z_{vv}''+m^{2}ze^{2u}=0.$$