Страница сетевой поддержки учеников Тимура Юрьевича Альпина

Доказать, что функция Бесселя $$J_{n}\left(x\right)=\frac{1}{\pi}\intop_{0}^{\pi}\cos\left(n\varphi-x\sin\varphi\right)d\varphi,\quad n\in\mathbb{Z}$$ удовлетворяет уравнению Бесселя $$x^{2}J_{n}''\left(x\right)+xJ_{n}'\left(x\right)+\left(x^{2}-n^{2}\right)J_{n}\left(x\right)=0.$$

Вначале найдём первую производную $J_{n}'\left(x\right)$ и сразу провернём её по частям, чтобы получить $\cos\left(n\varphi-x\sin\varphi\right)$ в интеграле: $$J_{n}'\left(x\right)=\frac{1}{\pi}\intop_{0}^{\pi}\sin\varphi\sin\left(n\varphi-x\sin\varphi\right)d\varphi=$$ $$=-\frac{1}{\pi}\intop_{0}^{\pi}\cos'\varphi\sin\left(n\varphi-x\sin\varphi\right)d\varphi=-\left.\frac{1}{\pi}\cos\varphi\sin\left(n\varphi-x\sin\varphi\right)\right|_{0}^{\pi}+\frac{1}{\pi}\intop_{0}^{\pi}\cos\varphi\left[\sin\left(n\varphi-x\sin\varphi\right)\right]^{\prime}d\varphi=$$ $$=\frac{1}{\pi}\intop_{0}^{\pi}\cos\varphi\cos\left(n\varphi-x\sin\varphi\right)\left(n-x\cos\varphi\right)d\varphi.$$ Вторая производная получается дифференцированием первоначального вида первой в таком виде: $$J_{n}''\left(x\right)=-\frac{1}{\pi}\intop_{0}^{\pi}\sin^{2}\varphi\cos\left(n\varphi-x\sin\varphi\right)d\varphi.$$ Теперь подставим всё в левую часть уравнения Бесселя: $$x^{2}J_{n}''\left(x\right)+xJ_{n}'\left(x\right)+\left(x^{2}-n^{2}\right)J_{n}\left(x\right)=$$ $$=-\frac{x^{2}}{\pi}\intop_{0}^{\pi}\sin^{2}\varphi\cos\left(n\varphi-x\sin\varphi\right)d\varphi+\frac{x}{\pi}\intop_{0}^{\pi}\cos\varphi\cos\left(n\varphi-x\sin\varphi\right)\left(n-x\cos\varphi\right)d\varphi+$$ $$+\frac{1}{\pi}\left(x^{2}-n^{2}\right)\intop_{0}^{\pi}\cos\left(n\varphi-x\sin\varphi\right)d\varphi=$$ объединим интегралы и вынесем $\frac{1}{\pi}$ и $\cos\left(n\varphi-x\sin\varphi\right)$: $$=\frac{1}{\pi}\intop_{0}^{\pi}\left[-x^{2}\sin^{2}\varphi+x\cos\varphi\left(n-x\cos\varphi\right)+\left(x^{2}-n^{2}\right)\right]\cos\left(n\varphi-x\sin\varphi\right)d\varphi=$$ далее несложными, но требующими аккуратности преобразованиями получим $$=\frac{1}{\pi}\intop_{0}^{\pi}\left[-x^{2}\sin^{2}\varphi+nx\cos\varphi-x^{2}\cos^{2}\varphi+x^{2}-n^{2}\right]\cos\left(n\varphi-x\sin\varphi\right)d\varphi=$$ $$=\frac{1}{\pi}\intop_{0}^{\pi}\left[-x^{2}\left(\sin^{2}\varphi+\cos^{2}\varphi\right)+x^{2}+nx\cos\varphi-n^{2}\right]\cos\left(n\varphi-x\sin\varphi\right)d\varphi=$$ $$=-\frac{n}{\pi}\intop_{0}^{\pi}\left(n-x\cos\varphi\right)\cos\left(n\varphi-x\sin\varphi\right)d\varphi=-\left.\frac{n}{\pi}\sin\left(n\varphi-x\sin\varphi\right)\right|_{0}^{\pi}=0,$$ что и требовалось получить.