Найти объём тела, ограниченного поверхностями: z=x2+y2,y=x2,y=1,z=0.
Поверхность, заданая уравнением, в котором нет координаты z, состоит из прямых, параллельных оси z и перпендикулярных плоскости xy. Поэтому сначала начертим сечения таких поверхностей на плоскостью xy. К таким поверхностям относятся заданные уравнениями y=x2,y=1.
Вертикальная труба с сечением в виде этой чашки отсекается с двух сторон: снизу - плоскостью xy (заданную уравнением z=0), а сверху – параболоидом z=x2+y2. Пересекаются эти поверхности только в начале координат:
Объём тела тогда задаётся интегралом V=∬S(zsup−zinf)dxdy=∬S(x2+y2)dxdy=1∫−1dx1∫x2dy(x2+y2)=1∫−1dx(x2y+y33)|1x2= =1∫−1dx[(x2+13)−(x2x2+(x2)33)]=1∫−1[13+x2−x4−x63]dx=[13x+x33−x55−x721]|1−1= и в силу нечётности степеней в последнем выражении =2[13+13−15−121]=2[1321−15]=2[6521⋅5−2121⋅5]=88105.
