Страница сетевой поддержки учеников Тимура Юрьевича Альпина

Общее решение однородного линейного уравнения \begin{equation} L\left(y\right)=\sum_{k=0}^{n}a_{k}y^{(k)}=0\label{eq:ur} \end{equation} есть линейная комбинация линейно независимых частных решений $y_{1},y_{2},\dots,y_{n}$ с постоянными коэффициентами $C_{1},C_{2},\dots,C_{n}$: \begin{equation} y=C_{1}y_{1}+C_{2}y_{2}+\dots+C_{n}y_{n}.\label{re6} \end{equation} Если функции $y_{1},y_{2},\dots,y_{n}$ окажутся зависимыми, некоторую из них можно выразить как линейную комбинацию остальных. Если заменить её этой комбинацией, то после переобозначения коэффициентов решение (\ref{re6}) будет зависеть от постоянных параметров, которых будет меньше $n$.

Если коэффициенты в уравнении $a_{1},a_{2},\dots,a_{n}$ постоянны, то алгоритмы нахождения частных решений, изучавшиеся нами раньше, сразу дают независимые решения. Но для уравнений с переменными коэффициентами за этим нужно проследить самостоятельно, иначе какие-то решения мы можем упустить. Впрочем, это требование иногда может нам в нахождении полного множества решений даже помочь.

(more…)