Вычет в бесконечности функции
z3cos1z−2
равен, конечно, взятому с минусом вычету в двойке, который вычислялся тут и дал результат −14324. Но можно его вычислить и в лоб.
Исходя из формулы
res∞f(z)=−res0f(1w)w2,
res∞z3cos1z−2=−res0(1w)3cos11w−21w2=−res01w5cosw1−2w.
Для функции
1w5cosw1−2w
является полюсом пятого порядка, а при k=5
−res01w5cosw1−2w=−14!d4dw4(1w5cosw1−2w⋅w5)|w=0=−14!d4dw4cosw1−2w|w=0=14!d3dw3[sinw1−2w(w1−2w)′]|w=0.
Для дальнейших вычислений нам понадобятся производные
(w1−2w)′=1−2w−w(−2)(1−2w)2=1(1−2w)2,
(w1−2w)′′=−2−2(1−2w)3=4(1−2w)3,
(w1−2w)′′′=−34(1−2w)4(−2)=24(1−2w)4.
По правилу Лейбница для старших производных
(uv)(n)=n∑k=0Cknu(n−k)v(k),
где Ckn — биномиальные коэффициенты, разложим третью производную:
res∞z3cos1z−2=14!d3dw3[sinw1−2w(w1−2w)′]|w=0=
=14![d3dw3sinw1−2w(w1−2w)′+3d2dw2sinw1−2w(w1−2w)′′+3ddwsinw1−2w(w1−2w)′′′+sinw1−2w(w1−2w)(4)]|w=0=
=14![d3dw3sinw1−2w1(1−2w)2+3d2dw2sinw1−2w4(1−2w)3+3cosw1−2w1(1−2w)224(1−2w)4]|w=0=
=14!d3dw3sinw1−2w|w=0+12d2dw2sinw1−2w|w=0+3.
Вычислим отдельно:
d2dw2sinw1−2w|w=0=ddw[cosw1−2w(w1−2w)′]|w=0=[−sinw1−2w(w1−2w)′2+cosw1−2w(w1−2w)′′]|w=0=
=[cosw1−2w4(1−2w)3]|w=0=4,
d3dw3sinw1−2w|w=0=d2dw2[cosw1−2w(w1−2w)′]|w=0=
=[d2dw2cosw1−2w(w1−2w)′+2ddwcosw1−2w(w1−2w)′′+cosw1−2w(w1−2w)′′′]|w=0=
=[d2dw2cosw1−2w1(1−2w)2−2sinw1−2w(w1−2w)′(w1−2w)′′+cosw1−2w24(1−2w)4]|w=0=[d2dw2cosw1−2w]|w=0+24,
здесь
[d2dw2cosw1−2w]|w=0=−ddw[sinw1−2w(w1−2w)′]|w=0=−[cosw1−2w(w1−2w)′2+sinw1−2w(w1−2w)′′]|w=0=
=−[1(1−2w)2]2|w=0=−1,
а значит,
d3dw3sinw1−2w|w=0=[d2dw2cosw1−2w]|w=0+24=−1+24=23.
Итого,
res∞z3cos1z−2=14!d3dw3sinw1−2w|w=0+12d2dw2sinw1−2w|w=0+3=14!23+124+3=3+2+2324=52324=14324, что согласуется с полученным ранее результатом.
