Вычет в бесконечности функции
\[
z^{3}\cos\frac{1}{z-2}
\]
равен, конечно, взятому с минусом вычету в двойке, который вычислялся тут и дал результат \( -\frac{143}{24} \). Но можно его вычислить и в лоб.
Исходя из формулы
\[
res_{\infty}f\left(z\right)=-res_{0}\frac{f\left(\frac{1}{w}\right)}{w^{2}},
\]
\[
res_{\infty}z^{3}\cos\frac{1}{z-2}=-res_{0}\left(\frac{1}{w}\right)^{3}\cos\frac{1}{\frac{1}{w}-2}\frac{1}{w^{2}}=-res_{0}\frac{1}{w^{5}}\cos\frac{w}{1-2w}.
\]
Для функции
\[
\frac{1}{w^{5}}\cos\frac{w}{1-2w}
\]
является полюсом пятого порядка, а при $k=5$
\[
-res_{0}\frac{1}{w^{5}}\cos\frac{w}{1-2w}=-\frac{1}{4!}\left.\frac{d^{4}}{dw^{4}}\left(\frac{1}{w^{5}}\cos\frac{w}{1-2w}\cdot w^{5}\right)\right|_{w=0}=-\frac{1}{4!}\left.\frac{d^{4}}{dw^{4}}\cos\frac{w}{1-2w}\right|_{w=0}=\frac{1}{4!}\left.\frac{d^{3}}{dw^{3}}\left[\sin\frac{w}{1-2w}\left(\frac{w}{1-2w}\right)^{\prime}\right]\right|_{w=0}.
\]
Для дальнейших вычислений нам понадобятся производные
\[
\left(\frac{w}{1-2w}\right)^{\prime}=\frac{1-2w-w\left(-2\right)}{\left(1-2w\right)^{2}}=\frac{1}{\left(1-2w\right)^{2}},
\]
\[
\left(\frac{w}{1-2w}\right)^{\prime\prime}=-2\frac{-2}{\left(1-2w\right)^{3}}=\frac{4}{\left(1-2w\right)^{3}},
\]
\[
\left(\frac{w}{1-2w}\right)^{\prime\prime\prime}=-3\frac{4}{\left(1-2w\right)^{4}}\left(-2\right)=\frac{24}{\left(1-2w\right)^{4}}.
\]
По правилу Лейбница для старших производных
\[
\left(uv\right)^{\left(n\right)}=\sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}u^{\left(n-k\right)}v^{\left(k\right)},
\]
где $C_{n}^{k}$ — биномиальные коэффициенты, разложим третью производную:
\[
res_{\infty}z^{3}\cos\frac{1}{z-2}=\frac{1}{4!}\left.\frac{d^{3}}{dw^{3}}\left[\sin\frac{w}{1-2w}\left(\frac{w}{1-2w}\right)^{\prime}\right]\right|_{w=0}=
\]
\[
=\frac{1}{4!}\left.\left[\frac{d^{3}}{dw^{3}}\sin\frac{w}{1-2w}\left(\frac{w}{1-2w}\right)^{\prime}+3\frac{d^{2}}{dw^{2}}\sin\frac{w}{1-2w}\left(\frac{w}{1-2w}\right)^{\prime\prime}+3\frac{d}{dw}\sin\frac{w}{1-2w}\left(\frac{w}{1-2w}\right)^{\prime\prime\prime}+\sin\frac{w}{1-2w}\left(\frac{w}{1-2w}\right)^{\left(4\right)}\right]\right|_{w=0}=
\]
\[
=\frac{1}{4!}\left.\left[\frac{d^{3}}{dw^{3}}\sin\frac{w}{1-2w}\frac{1}{\left(1-2w\right)^{2}}+3\frac{d^{2}}{dw^{2}}\sin\frac{w}{1-2w}\frac{4}{\left(1-2w\right)^{3}}+3\cos\frac{w}{1-2w}\frac{1}{\left(1-2w\right)^{2}}\frac{24}{\left(1-2w\right)^{4}}\right]\right|_{w=0}=
\]
\[
=\frac{1}{4!}\left.\frac{d^{3}}{dw^{3}}\sin\frac{w}{1-2w}\right|_{w=0}+\frac{1}{2}\left.\frac{d^{2}}{dw^{2}}\sin\frac{w}{1-2w}\right|_{w=0}+3.
\]
Вычислим отдельно:
\[
\left.\frac{d^{2}}{dw^{2}}\sin\frac{w}{1-2w}\right|_{w=0}=\left.\frac{d}{dw}\left[\cos\frac{w}{1-2w}\left(\frac{w}{1-2w}\right)^{\prime}\right]\right|_{w=0}=\left.\left[-\sin\frac{w}{1-2w}\left(\frac{w}{1-2w}\right)^{\prime2}+\cos\frac{w}{1-2w}\left(\frac{w}{1-2w}\right)^{\prime\prime}\right]\right|_{w=0}=
\]
\[
=\left.\left[\cos\frac{w}{1-2w}\frac{4}{\left(1-2w\right)^{3}}\right]\right|_{w=0}=4,
\]
\[
\left.\frac{d^{3}}{dw^{3}}\sin\frac{w}{1-2w}\right|_{w=0}=\left.\frac{d^{2}}{dw^{2}}\left[\cos\frac{w}{1-2w}\left(\frac{w}{1-2w}\right)^{\prime}\right]\right|_{w=0}=
\]
\[
=\left.\left[\frac{d^{2}}{dw^{2}}\cos\frac{w}{1-2w}\left(\frac{w}{1-2w}\right)^{\prime}+2\frac{d}{dw}\cos\frac{w}{1-2w}\left(\frac{w}{1-2w}\right)^{\prime\prime}+\cos\frac{w}{1-2w}\left(\frac{w}{1-2w}\right)^{\prime\prime\prime}\right]\right|_{w=0}=
\]
\[
=\left.\left[\frac{d^{2}}{dw^{2}}\cos\frac{w}{1-2w}\frac{1}{\left(1-2w\right)^{2}}-2\sin\frac{w}{1-2w}\left(\frac{w}{1-2w}\right)^{\prime}\left(\frac{w}{1-2w}\right)^{\prime\prime}+\cos\frac{w}{1-2w}\frac{24}{\left(1-2w\right)^{4}}\right]\right|_{w=0}=\left.\left[\frac{d^{2}}{dw^{2}}\cos\frac{w}{1-2w}\right]\right|_{w=0}+24,
\]
здесь
\[
\left.\left[\frac{d^{2}}{dw^{2}}\cos\frac{w}{1-2w}\right]\right|_{w=0}=-\left.\frac{d}{dw}\left[\sin\frac{w}{1-2w}\left(\frac{w}{1-2w}\right)^{\prime}\right]\right|_{w=0}=-\left.\left[\cos\frac{w}{1-2w}\left(\frac{w}{1-2w}\right)^{\prime2}+\sin\frac{w}{1-2w}\left(\frac{w}{1-2w}\right)^{\prime\prime}\right]\right|_{w=0}=
\]
\[
=-\left.\left[\frac{1}{\left(1-2w\right)^{2}}\right]^{2}\right|_{w=0}=-1,
\]
а значит,
\[
\left.\frac{d^{3}}{dw^{3}}\sin\frac{w}{1-2w}\right|_{w=0}=\left.\left[\frac{d^{2}}{dw^{2}}\cos\frac{w}{1-2w}\right]\right|_{w=0}+24=-1+24=23.
\]
Итого,
\[
res_{\infty}z^{3}\cos\frac{1}{z-2}=\frac{1}{4!}\left.\frac{d^{3}}{dw^{3}}\sin\frac{w}{1-2w}\right|_{w=0}+\frac{1}{2}\left.\frac{d^{2}}{dw^{2}}\sin\frac{w}{1-2w}\right|_{w=0}+3=\frac{1}{4!}23+\frac{1}{2}4+3=3+2+\frac{23}{24}=5\frac{23}{24}=\frac{143}{24},
\] что согласуется с полученным ранее результатом.
