Страница сетевой поддержки учеников Тимура Юрьевича Альпина

После площади перейдём к нахождению при помощи интегралов длин отрезков кривых. Теоретическая часть с примером и заданиями для самостоятельного решения для случая явной завсимости декартовых координат изложена здесь. Задание на дом: № 2437 — 2440.

Теоретическая часть с примером и заданиями для параметрически заданных кривых изложена здесь.

Теоретическая часть с примером и заданиями для кривых в полярных координатах изложена здесь.

Начну с цитаты из Демидовича:

От себя добавлю, что эта формула очевидно обобщается на любую другую координату. И более того, можно саму систему координат выбрать так, чтобы нужная координатная ось была направлена вдоль наиболее удобного для нас сечения.

Как, основываясь на этом, можно решить задачу, показано на примере номера 2466. Разобрав это решение, решите сами №№ 2462 — 2465.

Случай тел вращения особенен только тем, что в качестве оси, вдоль которой нужно интегрировать площадь сечения, имеет смысл выбрать ось симметрии. Тогда сечение будет являться кругом, а его площадь, подставляемая в интеграл, будет вычисляться по формуле \(S=\pi r^2\). Например, если фигура образована вращением участка графика функции \(y=y(x)\) вокруг оси \(x\) при \(a\leqslant x \leqslant b \), то объём задаётся формулой \[ V=\pi\intop_a^b y^2(x) dx. \] Впрочем, не будет страшно, даже если вращение происходит вокруг оси \(y\); тогда \[ V=\pi\intop_{y_1}^{y_2} x^2 dy=\pi\intop_{x_1}^{x_2} x^2 y'(x) dx, \] правда, в этом случае более внимательно нужно будет выбирать пределы интегрирования. Только при возрастающей функции \(y(x)\) это будут старые \(a\) и \(b\).

Основываясь на этих соображениях, решите №2474 и №2475.

Что такое поток — мы успели вспомнить в прошлый раз. Что нужно сделать в этот:

1. Скачать методичку (Это не Анчиков!), прочитать главу 4 про поток, вспомнить, что это такое,
2. Разобрать приведённые там решения задач вместе с формулой Остроградского-Гаусса,
3. Решить из Анчикова номера 70 – 74 и 102 пп. а,б.

На дом: 75, 77, 82, 102 пп. в,г.

Напомню, что мы изучили случаи, когда в уравнении второго порядка некая координата не присутствовала вообще (получались цилиндрические поверхности разного сечения) и когда все три координаты присутствовали в виде квадратов (получались, в зависимости от знаков, эллипсоид, однополостной гиперболоид и двухполостной гиперболоид).

Наличие, помимо квадрата, координаты в первой степени не приводило к существенно новым результатам: поверхность просто параллельно переносилась. Остался, однако, нерассмотренным случай, когда некоторая координата присутствовала, но только в первой степени.

Построить по сечениям эллиптический параболоид \[ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=2z \]
и (это сложнее, но забавнее) гиперболический параболоид \[ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=2z. \]

Что будет, если у двух переменных отсутствует квадрат? Постройте поверхность \[ Ax^2+by+cz=d \].

Решить задачи из этого поста: 10.5 — 10.9.

Задания, не решённые на занятии, остаются на дом.

Теперь освоим нахождение длин кривых в параметрическом и полярном виде.

Теоретическая часть с примером и заданиями для параметрически заданных кривых изложена здесь.

Теоретическая часть с примером и заданиями для кривых в полярных координатах изложена здесь.

Задания, не решённые на занятии, остаются на дом.

За невозможностью провести контрольную — начнём вариационное исчисление.

1. Скачать методичку.
2. Разобрать первые три параграфа (до необходимых условий экстремума).
3. Пройти от стадии «ничего не понятно» до конкретных вопросов и задать таковые мне.
4. * Получить уравнение Эйлера из второго определения вариации.
5. Найти экстремали (если таковые есть) в задачах 3.1 — 3.15. То, что не успеете на занятии — переходит в домашнее задание. Если не получается решить самостоятельно — в разделе «Ответы, указания, решения» приведены подробные решения к почти каждой задаче.

Достаточные условия будем рассматривать потом.