Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную сверху кривой, заданной
параметрически
{x=x(t),y=y(t).
Её площадь, как обычно, будет выражаться интегралом
S=b∫aydx,(a<b).
Но для параметрически заданной кривой
S=b∫aydx=t2∫t1y(t)˙x(t)dt,
где x(t1)=a и x(t2)=b. При этом
x(t) должна быть возрастающей функцией, иначе интеграл
будет противоположен площади:
S=t1∫t2y(t)˙x(t)dt=−t2∫t1y(t)˙x(t)dt.
Пусть теперь кривая при прохождении параметра от t1 до t2
пересекается сама с собой (как, например, на рисунке выше, в точке
A):
{x(t1)=x(t2),y(t1)=y(t2).
При этом предположим, что x(t) возрастает до некоторой
точки t1<t∗<t2, а после - начинает убывать; при этом до
точки t∗ принимает меньшие значения, чем после точки t∗
(то есть на рисунке выше петля проходится против часовой стрелки).
Найдём площадь фигуры, ограниченной петлёй.
Можно заметить, что искомая фигура является дополнением трапеции AA1BC
до трапеции AA2BC (точки A1 и A2 введены только
для различения верхней и нижней стороны петли, ничего существенного
в них как таковых не происходит). Таким образом, её площадь есть разность
площадей трапеций:
S=SAA2BC−SAA1BC.
Последние же легко могут быть найдены по формулам выше. При t1<t<t∗x(t) возрастает, значит, SAA1BC выражается
формулой (1):
SAA1BC=t∗∫t1y(t)˙x(t)dt.
Но после точки прохождение верхней части петли идёт в обратном направлении,
и там уже действует формула (2):
SAA2BC=−t2∫t∗y(t)˙x(t)dt.
Теперь подставим и объединим эти интегралы:
S=SAA2BC−SAA1BC=−t2∫t∗y(t)˙x(t)dt−t∗∫t1y(t)˙x(t)dt=−t2∫t1y(t)˙x(t)dt.
Дальнейшие размышления позволяют обобщить эту формулу на широчайший
класс случаев. Для её применимости оказывается достаточно двух условий:
кривая не должна самопересекаться между точками t1 и t2
и при возрастании t она должна обходить фигуру против часовой стрелки.
Для примера рассмотрим эллипс (№ 2403, Если не указано иное, здесь и далее примеры даются из Демидовича), заданный уравнением
x2a2+y2b2=1.
Координаты всех точек этого эллипса могут быть заданы формулами
{x=acost,y=bsint;0<t<2π.
При возрастании t именно против часовой эллипс и будет обходиться.
Найдём его площадь:
S=−2π∫0y(t)˙x(t)dt=−2π∫0bsintddt(acost)dt=ab2π∫0sin2tdt=
Аналогичным образом решить № 2413 и 2416. На дом: 2414.
Далее изучим формулу для площади криволинейного сектора, ограниченного кривой в полярных координатах (читать тут) и применим её (пример есть тут.) решите №№ 2418 — 2421. На дом: 2424, 2424.1. Для тех, кому скучно решать простое: № 2426, 2427.
Во время занятия по расписанию я буду доступен для задания вопросов. Для пользователей токса можно создать группу, в которой будет вестись общее обсуждение — чтобы вопросы не дублировались. Если не получается дописаться по другим каналам — пишите на официальную почту: Timur.Alpin@kpfu.ru; если вовремя увижу — отвечу.