
Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную сверху кривой, заданной параметрически {x=x(t),y=y(t). Её площадь, как обычно, будет выражаться интегралом S=b∫aydx,(a<b). Но для параметрически заданной кривой S=b∫aydx=t2∫t1y(t)˙x(t)dt, где x(t1)=a и x(t2)=b. При этом x(t) должна быть возрастающей функцией, иначе интеграл будет противоположен площади: S=t1∫t2y(t)˙x(t)dt=−t2∫t1y(t)˙x(t)dt. Пусть теперь кривая при прохождении параметра от t1 до t2 пересекается сама с собой (как, например, на рисунке выше, в точке A): {x(t1)=x(t2),y(t1)=y(t2). При этом предположим, что x(t) возрастает до некоторой точки t1<t∗<t2, а после - начинает убывать; при этом до точки t∗ принимает меньшие значения, чем после точки t∗ (то есть на рисунке выше петля проходится против часовой стрелки). Найдём площадь фигуры, ограниченной петлёй. Можно заметить, что искомая фигура является дополнением трапеции AA1BC до трапеции AA2BC (точки A1 и A2 введены только для различения верхней и нижней стороны петли, ничего существенного в них как таковых не происходит). Таким образом, её площадь есть разность площадей трапеций: S=SAA2BC−SAA1BC. Последние же легко могут быть найдены по формулам выше. При t1<t<t∗ x(t) возрастает, значит, SAA1BC выражается формулой (1): SAA1BC=t∗∫t1y(t)˙x(t)dt. Но после точки прохождение верхней части петли идёт в обратном направлении, и там уже действует формула (2): SAA2BC=−t2∫t∗y(t)˙x(t)dt. Теперь подставим и объединим эти интегралы: S=SAA2BC−SAA1BC=−t2∫t∗y(t)˙x(t)dt−t∗∫t1y(t)˙x(t)dt=−t2∫t1y(t)˙x(t)dt. Дальнейшие размышления позволяют обобщить эту формулу на широчайший класс случаев. Для её применимости оказывается достаточно двух условий: кривая не должна самопересекаться между точками t1 и t2 и при возрастании t она должна обходить фигуру против часовой стрелки. Для примера рассмотрим эллипс (№ 2403, Если не указано иное, здесь и далее примеры даются из Демидовича), заданный уравнением x2a2+y2b2=1. Координаты всех точек этого эллипса могут быть заданы формулами {x=acost,y=bsint;0<t<2π. При возрастании t именно против часовой эллипс и будет обходиться. Найдём его площадь: S=−2π∫0y(t)˙x(t)dt=−2π∫0bsintddt(acost)dt=ab2π∫0sin2tdt= =ab22π∫0(1−cos2t)dt=ab2(t−sin2t2)|2π0=ab2(2π−0)=πab.
Аналогичным образом решить № 2413 и 2416. На дом: 2414.
Далее изучим формулу для площади криволинейного сектора, ограниченного кривой в полярных координатах (читать тут) и применим её (пример есть тут.) решите №№ 2418 — 2421. На дом: 2424, 2424.1. Для тех, кому скучно решать простое: № 2426, 2427.
Во время занятия по расписанию я буду доступен для задания вопросов. Для пользователей токса можно создать группу, в которой будет вестись общее обсуждение — чтобы вопросы не дублировались. Если не получается дописаться по другим каналам — пишите на официальную почту: Timur.Alpin@kpfu.ru; если вовремя увижу — отвечу.