Говорят, что числовой ряд a1+⋯+an+⋯=∞∑n=1an сходится, если последовательность частичных сумм Sn=n∑k=1ak имеет предел ∃S=limn→∞Sn, и что расходится, если этого предела нет. Не обязательно начальное значение n=1; есть немало случаев, когда n традиционно начинается с нуля. Главное, что некий начальный номер у слагаемых ряда есть, но нет конечного.
Удобный пример ряда, сходимость которого доказывается по определению – геометрическая прогрессия. Пусть an=a1qn−1. Тогда, по известной со школы формуле, Sn=n∑k=1ak=n∑k=1a1qk−1=a11−qn1−q От n тут зависит только qn, которое имеет предел при |q|<1 и не имеет при |q|>1. Точно при тех же условиях имеет предел Sn, а ряд n∑k=1a1qk−1 сходится.
Неудобный пример такого ряда - №2548 из Демидовича. Как для такого ряда находятся частичные суммы – описано в решении № 55, приведённом вот здесь.
Задание: по этим образцам решить № 2546, 2547, 2549.
Для пределов последовательностей существует набор признаков существования, проходившихся ещё в первом семестре; ничто не мешает применять эти признаки для последовательностей частичных сумм. Например, по критерию Коши необходимым и достаточным условием сходимости последовательности является её фундаментальность – т.е. что для всякого ε>0 есть такое натуральное N, начиная с которого модуль разности любых двух элементов последовательности будет меньше ε: ∃limn→∞xn⟺∀ε>0∃N:∀p,q>N|xp−xq|<ε. Не ограничивая общности, можно считать, что p>q (внутри модуля разницы нет). Тогда, применив критерий Коши к частичным суммам, получим, что ряд сходится тогда и только тогда, когда для ∀ε>0 найдётся N, после которого для ∀p,q>N |Sp−Sq|=|p∑k=1ak−q∑k=1ak|=|q∑k=1ak+p∑k=q+1ak−q∑k=1ak|=|p∑k=q+1ak|<ε. Дальше будет ещё много признаков сходимости. Но это часто будут именно признаки сходимости: если они выполняются - имеет место сходимость; но если не выполняются - мы не можем сказать ничего. Критерий Коши выделяется из них тем, что при помощи него можно доказать расходимость - это очень ценный инструмент.
В частности, раз сходящийся ряд удовлетворяет критерию Коши, можно рассмотреть случай p=q+1. Тогда критерий Коши будет выглядеть так: для ∀ε>0 найдётся M=N+1, что при p>M |p∑k=q+1ak|=|ap|<ε. Но утверждение, приведённое выше есть определение бесконечной малости an, т.е. из сходимости ряда следует то, что его слагаемые стремятся к нулю при n→∞. Это называется необходимым условием сходимости.
Задание: воспользоваться необходимым условием сходимости в № 2556 и 2557.
Дальше перейдём к признакам сходимости рядов с положительными слагаемыми, и начнём с признаков сравнения. Пусть слагаемые рядов ∞∑n=1anи∞∑n=1bn удовлетворяют неравенствам 0<ak<bk и второй ряд сходится. Сложив эти неравенства, получим 0<n∑k=1ak<n∑k=1bk, или 0<An<Bn,An=n∑k=1ak,Bn=n∑k=1bk. Так как ak>0, An>An−1, т.е. An возрастает. Но так как второй ряд сходится, имеет предел последовательность Bn, а значит, она ограничена: ∃M>Bn. Тогда An<Bn<M. Последовательность An возрастает и ограничена сверху, значит, имеет предел, т.е. ряд ∞∑n=1an сходится. В итоге, если из двух положительных рядов больший сходится, то и меньший сходится — этот результат есть один из двух, формирующих так называемый первый признак сходимости.
Положим теперь, что ряд из меньших слагаемых расходится. Тогда последовательность An не может быть ограниченной сверху: мы доказали, что она возрастает, и если бы она была ограничена сверху, она бы имела предел, т.е. меньший ряд бы сходился, что противоречит нашему предположению. Неограниченность сверху может быть выражена так: для всякого сколь угодно большого E существует такое N, что AN>E. Но так как An возрастает, при n>N An>E, т.е. An стремится к бесконечности. Однако по доказанному выше An<Bn. Значит, при n>N E<An<Bn, то есть Bn тоже стремится к бесконечности. Итак, если из двух положительных рядов меньший расходится, то и больший расходится. Это – вторая половина первого признака сходимости.
Второй признак сходимости использует пределы. Пусть ∃limn→∞anbn=C≠0 (какие на какие слагаемые вы тут делите - неважно, можно и наоборот). Это значит, что для ∀ε>0 ∃N: n>N⇒ |anbn−C|<ε −ε<anbn−C<ε прибавим C C−ε<anbn<C+ε bn(C−ε)<an<bn(C+ε) А отсюда, с использованием первого признака сравнения, следует, что если ряд b сходится, то и ряд a сходится, и наоборот. Этот признак называется вторым признаком сравнения.
Признаки сравнения вместе с критерием Коши используются для доказательства сходимости или расходимости обобщённо-гармонических рядов. Как это делается - читайте тут.
Признаки сравнения используются для выяснения сходимости различных рядов путём (внезапно) сравнения их с геометрическими прогрессиями, рассмотренными выше, и обобщённо-гармоническими рядами.
Пример: №2558
an=1n! 5!=120>25=32,⇒a5<125 Пусть теперь n>5 и для некоторого n an<12n. Тогда n+1>2, 1n+1<12 и an+1=ann+1<an2<12n2=12n+1. Так методом математической индукции было доказано, что для n>5 an=1n!<12n. Но ряд ∞∑n=112n сходится, значит, и ∞∑n=11n! сходится по первому признаку сравнения.
Или, скажем, №2559 an=12n−1 Мы знаем, что расходится 1n Вычислим предел отношения limn→∞an1n=limn→∞12n−11n=limn→∞n2n−1=limn→∞12−1n=12. Он существует, и не равен нулю. Следовательно, по второму признаку сравнения, исходный ряд тоже расходится.
Задание: при помощи признаков сравнения решите №2560-2564, при помощи критерия Коши № 2574.
По признакам Даламбера и Коши ряд, состоящий из положительных слагаемых, сходится, если некоторое число q, вычисленное для него, меньше единицы, и расходится, если больше. Если оказывается, что q=1, то ряд нужно исследовать на сходимость другими методами. Разница между этими признаками лишь в том, как вычисляется число q: по признаку Даламбера q=limn→∞an+1an, а по признаку Коши q=limn→∞n√an.
Признаки Даламбера и Коши в некотором смысле автоматизируют сравнение с геометрической прогрессией. И работают они понятнее всего на ней. В самом деле, если a=a1qn−1, то an+1an=a1qna1qn−1=q=limn→∞an+1an, (см. №63) limn→∞n√an=limn→∞n√a1qn−1=qlimn→∞n√a1q=q⋅1=q Как видите, пределы в этих признаках выдают одно и то же число (это доказывается в Фихтенгольце), так что если получилась единица по признаку Даламбера - бесполезно браться за признак Коши. Выбирается же тот из них, который удобнее в данном конкретном случае.
Признак Даламбера заработал дурную славу. Дело в том, что многие поколения двоечников почему-то из всего раздела о рядах учили, проигнорировав остальные, один только признак Даламбера. Но и про тот не поняли толком, признаком чего он является и когда применяется. Знакомая печальная картина – когда для знакопеременных рядов пытаются вычислить соответствующий предел – и не могут. Так что если вам кажется, что нужно воспользоваться признаком Даламбера – подумайте ещё раз.
Примеры: №2580 an=n!nn an+1an=(n+1)!(n+1)n+1n!nn=(n+1)!n!nn(n+1)n+1=(n+1)nn(n+1)n+1=nn(n+1)n=(1−1n+1)n limn→∞an+1an=limn→∞(1−1n+1)n=limn→∞(1−1n+1)−(n+1)−n(n+1)=limn→∞e−nn+1=e−1<1, значит, ряд сходится по признаку Даламбера.
№2587 Сначала вспомним прошлый семестр: limn→∞n1n=1⇒limn→∞n1n2=limn→∞(n1n)1n=10=1 (см №65 на пределы). Далее отметим, что напечатанное в задачнике можно понять двояко. Если прочитать буквально, an=nn+1/n(n+1n)n=nn+1n(n+1n)n. Но тогда limn→∞an=limn→∞nn+1/n(n+1n)n=limn→∞n1/n(1+1n2)n=limn→∞n1/n(1+1n2)n21n=1e0=1≠0 и ряд расходится в силу невыполнения необходимого условия сходимости. Если же следует читать an=nn+1/n(n+1n)n=nn+1n(n+1n)n, то можно применить признак Коши (не путать с однофамильным критерием): n√an=n1/n+1/n2n+1n=n1/nn1/n2n+1n, тогда limn→∞n√an=limn→∞n1/nlimn→∞n1/n2limn→∞1n+1n=limn→∞n1/nlimn→∞n1/n2limn→∞1n+1n=1⋅1⋅0=0<1, значит, ряд сходится по признаку Коши.
Задание: решить №2578, 2579, 2581, 2586, 2589.
Поправлено 16.05.2020, спасибо тов. Зажигалкину Н.Д.