Говорят, что числовой ряд a1+⋯+an+⋯=∞∑n=1an сходится, если последовательность частичных сумм Sn=n∑k=1ak имеет предел ∃S=lim и что расходится, если этого предела нет. Не обязательно начальное значение n=1; есть немало случаев, когда n традиционно начинается с нуля. Главное, что некий начальный номер у слагаемых ряда есть, но нет конечного.
Удобный пример ряда, сходимость которого доказывается по определению – геометрическая прогрессия. Пусть a_{n}=a_{1}q^{n-1}. Тогда, по известной со школы формуле, S_{n}=\sum_{k=1}^{n}a_{k}=\sum_{k=1}^{n}a_{1}q^{k-1}=a_{1}\frac{1-q^{n}}{1-q} От n тут зависит только q^{n}, которое имеет предел при \left|q\right|<1 и не имеет при \left|q\right|>1. Точно при тех же условиях имеет предел S_{n}, а ряд \sum_{k=1}^{n}a_{1}q^{k-1} сходится.
Неудобный пример такого ряда - №2548 из Демидовича. Как для такого ряда находятся частичные суммы – описано в решении № 55, приведённом вот здесь.
Задание: по этим образцам решить № 2546, 2547, 2549.
Для пределов последовательностей существует набор признаков существования, проходившихся ещё в первом семестре; ничто не мешает применять эти признаки для последовательностей частичных сумм. Например, по критерию Коши необходимым и достаточным условием сходимости последовательности является её фундаментальность – т.е. что для всякого \varepsilon>0 есть такое натуральное N, начиная с которого модуль разности любых двух элементов последовательности будет меньше \varepsilon: \exists\lim_{n\to\infty}x_{n}\qquad\Longleftrightarrow\qquad\forall\varepsilon>0\;\exists N:\forall p,q>N\;\left|x_{p}-x_{q}\right|<\varepsilon. Не ограничивая общности, можно считать, что p>q (внутри модуля разницы нет). Тогда, применив критерий Коши к частичным суммам, получим, что ряд сходится тогда и только тогда, когда для \forall\varepsilon>0 найдётся N, после которого для \forall p,q>N \left|S_{p}-S_{q}\right|=\left|\sum_{k=1}^{p}a_{k}-\sum_{k=1}^{q}a_{k}\right|=\left|\sum_{k=1}^{q}a_{k}+\sum_{k=q+1}^{p}a_{k}-\sum_{k=1}^{q}a_{k}\right|=\left|\sum_{k=q+1}^{p}a_{k}\right|<\varepsilon. Дальше будет ещё много признаков сходимости. Но это часто будут именно признаки сходимости: если они выполняются - имеет место сходимость; но если не выполняются - мы не можем сказать ничего. Критерий Коши выделяется из них тем, что при помощи него можно доказать расходимость - это очень ценный инструмент.
В частности, раз сходящийся ряд удовлетворяет критерию Коши, можно рассмотреть случай p=q+1. Тогда критерий Коши будет выглядеть так: для \forall\varepsilon>0 найдётся M=N+1, что при p>M \left|\sum_{k=q+1}^{p}a_{k}\right|=\left|a_{p}\right|<\varepsilon. Но утверждение, приведённое выше есть определение бесконечной малости a_{n}, т.е. из сходимости ряда следует то, что его слагаемые стремятся к нулю при n\to\infty. Это называется необходимым условием сходимости.
Задание: воспользоваться необходимым условием сходимости в № 2556 и 2557.
Дальше перейдём к признакам сходимости рядов с положительными слагаемыми, и начнём с признаков сравнения. Пусть слагаемые рядов \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\;\text{и}\;\sum_{n=1}^{\infty}b_{n} удовлетворяют неравенствам 0 < a_{k} < b_{k} и второй ряд сходится. Сложив эти неравенства, получим 0 < \sum_{k=1}^{n}a_{k} < \sum_{k=1}^{n}b_{k}, или 0 < A_{n} < B_{n},\qquad A_{n}=\sum_{k=1}^{n}a_{k},\quad B_{n}=\sum_{k=1}^{n}b_{k}. Так как a_{k} > 0, A_{n} > A_{n-1}, т.е. A_{n} возрастает. Но так как второй ряд сходится, имеет предел последовательность B_{n}, а значит, она ограничена: \exists M > B_{n}. Тогда A_{n} < B_{n} < M. Последовательность A_{n} возрастает и ограничена сверху, значит, имеет предел, т.е. ряд \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} сходится. В итоге, если из двух положительных рядов больший сходится, то и меньший сходится — этот результат есть один из двух, формирующих так называемый первый признак сходимости.
Положим теперь, что ряд из меньших слагаемых расходится. Тогда последовательность A_{n} не может быть ограниченной сверху: мы доказали, что она возрастает, и если бы она была ограничена сверху, она бы имела предел, т.е. меньший ряд бы сходился, что противоречит нашему предположению. Неограниченность сверху может быть выражена так: для всякого сколь угодно большого E существует такое N, что A_{N} > E. Но так как A_{n} возрастает, при n > N A_{n} > E, т.е. A_{n} стремится к бесконечности. Однако по доказанному выше A_{n} < B_{n}. Значит, при n > N E < A_{n} < B_{n}, то есть B_{n} тоже стремится к бесконечности. Итак, если из двух положительных рядов меньший расходится, то и больший расходится. Это – вторая половина первого признака сходимости.
Второй признак сходимости использует пределы. Пусть \exists\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}}=C\neq0 (какие на какие слагаемые вы тут делите - неважно, можно и наоборот). Это значит, что для \forall\varepsilon > 0 \exists N: n > N\quad\Rightarrow \left|\frac{a_{n}}{b_{n}}-C\right|<\varepsilon -\varepsilon<\frac{a_{n}}{b_{n}}-C<\varepsilon прибавим C C-\varepsilon < \frac{a_{n}}{b_{n}} < C+\varepsilon b_{n}\left(C-\varepsilon\right) < a_{n} < b_{n}\left(C+\varepsilon\right) А отсюда, с использованием первого признака сравнения, следует, что если ряд b сходится, то и ряд a сходится, и наоборот. Этот признак называется вторым признаком сравнения.
Признаки сравнения вместе с критерием Коши используются для доказательства сходимости или расходимости обобщённо-гармонических рядов. Как это делается - читайте тут.
Признаки сравнения используются для выяснения сходимости различных рядов путём (внезапно) сравнения их с геометрическими прогрессиями, рассмотренными выше, и обобщённо-гармоническими рядами.
Пример: №2558
a_{n}=\frac{1}{n!} 5!=120 > 2^{5}=32,\quad\Rightarrow\quad a_{5}<\frac{1}{2^{5}} Пусть теперь n>5 и для некоторого n a_{n}<\frac{1}{2^{n}}. Тогда n+1>2, \frac{1}{n+1}<\frac{1}{2} и a_{n+1}=\frac{a_{n}}{n+1}<\frac{a_{n}}{2}<\frac{1}{2^{n}2}=\frac{1}{2^{n+1}}. Так методом математической индукции было доказано, что для n>5 a_{n}=\frac{1}{n!}<\frac{1}{2^{n}}. Но ряд \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{n}} сходится, значит, и \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!} сходится по первому признаку сравнения.
Или, скажем, №2559 a_{n}=\frac{1}{2n-1} Мы знаем, что расходится \frac{1}{n} Вычислим предел отношения \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{\frac{1}{n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{2n-1}}{\frac{1}{n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{n}{2n-1}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2-\frac{1}{n}}=\frac{1}{2}. Он существует, и не равен нулю. Следовательно, по второму признаку сравнения, исходный ряд тоже расходится.
Задание: при помощи признаков сравнения решите №2560-2564, при помощи критерия Коши № 2574.
По признакам Даламбера и Коши ряд, состоящий из положительных слагаемых, сходится, если некоторое число q, вычисленное для него, меньше единицы, и расходится, если больше. Если оказывается, что q=1, то ряд нужно исследовать на сходимость другими методами. Разница между этими признаками лишь в том, как вычисляется число q: по признаку Даламбера q=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}, а по признаку Коши q=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_{n}}.
Признаки Даламбера и Коши в некотором смысле автоматизируют сравнение с геометрической прогрессией. И работают они понятнее всего на ней. В самом деле, если a=a_{1}q^{n-1}, то \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{a_{1}q^{n}}{a_{1}q^{n-1}}=q=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}, (см. №63) \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_{n}}=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_{1}q^{n-1}}=q\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{a_{1}}{q}}=q\cdot1=q Как видите, пределы в этих признаках выдают одно и то же число (это доказывается в Фихтенгольце), так что если получилась единица по признаку Даламбера - бесполезно браться за признак Коши. Выбирается же тот из них, который удобнее в данном конкретном случае.
Признак Даламбера заработал дурную славу. Дело в том, что многие поколения двоечников почему-то из всего раздела о рядах учили, проигнорировав остальные, один только признак Даламбера. Но и про тот не поняли толком, признаком чего он является и когда применяется. Знакомая печальная картина – когда для знакопеременных рядов пытаются вычислить соответствующий предел – и не могут. Так что если вам кажется, что нужно воспользоваться признаком Даламбера – подумайте ещё раз.
Примеры: №2580 a_{n}=\frac{n!}{n^{n}} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{\frac{\left(n+1\right)!}{\left(n+1\right)^{n+1}}}{\frac{n!}{n^{n}}}=\frac{\left(n+1\right)!}{n!}\frac{n^{n}}{\left(n+1\right)^{n+1}}=\left(n+1\right)\frac{n^{n}}{\left(n+1\right)^{n+1}}=\frac{n^{n}}{\left(n+1\right)^{n}}=\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{n} \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{n}=\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{-\left(n+1\right)\frac{-n}{\left(n+1\right)}}=\lim_{n\to\infty}e^{-\frac{n}{n+1}}=e^{-1}<1, значит, ряд сходится по признаку Даламбера.
№2587 Сначала вспомним прошлый семестр: \lim_{n\to\infty}n^{\frac{1}{n}}=1\qquad\Rightarrow\qquad\lim_{n\to\infty}n^{\frac{1}{n^{2}}}=\lim_{n\to\infty}\left(n^{\frac{1}{n}}\right)^{\frac{1}{n}}=1^{0}=1 (см №65 на пределы). Далее отметим, что напечатанное в задачнике можно понять двояко. Если прочитать буквально, a_{n}=\frac{n^{n+1/n}}{\left(n+\frac{1}{n}\right)^{n}}=\frac{n^{n+\frac{1}{n}}}{\left(n+\frac{1}{n}\right)^{n}}. Но тогда \lim_{n\to\infty}a_{n}=\lim_{n\to\infty}\frac{n^{n+1/n}}{\left(n+\frac{1}{n}\right)^{n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{n^{1/n}}{\left(1+\frac{1}{n^{2}}\right)^{n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{n^{1/n}}{\left(1+\frac{1}{n^{2}}\right)^{n^{2}\frac{1}{n}}}=\frac{1}{e^{0}}=1\neq0 и ряд расходится в силу невыполнения необходимого условия сходимости. Если же следует читать a_{n}=\frac{n^{n+1/n}}{\left(n+\frac{1}{n}\right)^{n}}=\frac{n^{\frac{n+1}{n}}}{\left(n+\frac{1}{n}\right)^{n}}, то можно применить признак Коши (не путать с однофамильным критерием): \sqrt[n]{a_{n}}=\frac{n^{1/n+1/n^{2}}}{n+\frac{1}{n}}=\frac{n^{1/n}n^{1/n^{2}}}{n+\frac{1}{n}}, тогда \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_{n}}=\lim_{n\to\infty}n^{1/n}\lim_{n\to\infty}n^{1/n^{2}}\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+\frac{1}{n}}=\lim_{n\to\infty}n^{1/n}\lim_{n\to\infty}n^{1/n^{2}}\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+\frac{1}{n}}=1\cdot1\cdot0=0<1, значит, ряд сходится по признаку Коши.
Задание: решить №2578, 2579, 2581, 2586, 2589.
Поправлено 16.05.2020, спасибо тов. Зажигалкину Н.Д.