Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js

Страница сетевой поддержки учеников Тимура Юрьевича Альпина

05.11.2022

Задания и материалы для дистанционного занятия гр. 06-212 в 8:30 в сб. 5.11.2022 (Демидович № 1386, 1327)

Логично расширить идею разложения, которое использовалось при определении дифференциала: если у приращения функции можно выделить линейную часть по приращению аргумента, то почему нельзя выделить части, зависящие от приращения аргумента квадратично, кубично и так далее? Эта мысль воплощается в способе разложения функций, который называется формулой Тейлора. Согласно ей, вокруг точки x0 f(x)=nk=0ak(xx0)k+R, причём коэффициенты ak не зависят от x и вычисляются по формуле ak=f(k)(x0)k!; а R называется остаточным членом и оценивается разными способами.

Если констатируется, что (это доказывается отдельно) limxx0R(xx0)n=0R=o((xx0)n), то говорят, что остаточный член представлен в форме Пеано. R=f(n+1)(x0+θ(xx0))(n+1)!(xx0)n+1,0<θ<1, называется остаточным членом в форме Лагранжа.

Функции, у которых можно вычислить производную любого порядка, раскладываются по формуле Тейлора легко. Например, разложим косинус до нечётной степени вокруг нуля (x0=0): cos(x)=2n+1k=0cos(k)(0)k!xk+R=2n+1k=0cos(π2k)k!xk+R= разложим сумму по парам чётных (k=2m) и нечётных (k=2m+1) степеней =nm=1{cos[π2(2m)](2m)!x2m+cos[π2(2m+1)](2m+1)!x2m+1}+R= заметим, что cos(πm+π2)=0, a cos(πm)=(1)m =nm=1{cos(πm)(2m)!x2m+cos(πm+π2)(2m+1)!x2m+1}+R=nm=1(1)m(2m)!x2m+R, что совпадает из формулы в Демидовиче, приведённой в теоретической части к формуле Тейлора (§10).

Задание: получить разложения для функций ex и sinx из той же части.

Функции, у которых n-я производная не находится в оббщем виде, раскладываются по формуле Тейлора с бОльшим трудом:

Демидович №1386 Разложить tgx по степеням x (то есть вокруг нуля) до степени x5

Находим первые пять производных функции tgx: tgx=1cos2x tgx=2sinxcos3x tg(3)x=4sin2x+2cos4x tg(4)x=8sin3x+16sinxcos5x tg(5)x=16sin4x+88sin2x+16cos6x Так как раскладываем вокруг нуля (x0=0), нам потребуются эти производные (с самой функцией) в нуле: tg0=0,tg0=1,tg0=0, tg(3)0=2,tg(4)x=0,tg(5)x=16. Так как ak=f(k)(x0)k!, a0=tg00!=0,a1=tg01!=11=1,a2=0, a3=23!=13,a4=0, a5=165!=1612345=4235=215. Тогда tgx=5k=0akxk+Ra0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5=x+13x3+215x5. Впрочем, следует иметь в виду, что получение коэффициентов в формуле Тейлора через производные не всегда удобно и есть разнообразные альтернативные способы. Например, вот тут используются стандартные разложения для решения №1377.

Задание: Демидович № 1385, 1384.

Разложение по формуле Тейлора используется для многого. В частности, его можно применить к вычислению пределов. Пусть, что нам необходимо вычислить предел limxaf(x)g(x), причём обе функции f(x) и g(x) стремятся к нулю (неопределённость вида 00). Пусть также равны нулю их производные всех порядков до n1, но g(n)(x)0. Тогда f(x)=nk=0f(k)(x0)k!(xx0)k+o((xx0)n)=n1k=0f(k)(x0)k!(xx0)k+f(n)(x0)k!(xx0)n+o((xx0)n)= =f(n)(x0)n!(xx0)n+o((xx0)n), и аналочично g(x)=g(n)(x0)n!(xx0)n+o((xx0)n). Тогда limxaf(x)g(x)=limxaf(n)(x0)n!(xx0)n+o((xx0)n)g(n)(x0)n!(xx0)n+o((xx0)n)=limxaf(n)(x0)+n!o((xx0)n)(xx0)ng(n)(x0)+n!o((xx0)n)(xx0)n=f(n)(x0)g(n)(x0). Пример: №1327 limx0arcsin2x2arcsinxx3 f(x)=arcsin2x2arcsinx g(x)=x3,g(x)=3x2,g(x)=6x,g(x)=60(n=3), limx0arcsin2x2arcsinxx3=f(0)6 f(x)=21(2x)221x2 f(x)=8x1(2x)232x1x23=x(81(2x)2321x23) f(x)=(81(2x)2321x23)+x(81(2x)2321x23) f(0)=82+0=6 limx0arcsin2x2arcsinxx3=f(0)6=66=1 Задание: Демидович № 1319, 1323, 1325.

Если функции f(x) и g(x) непрерывны и дифференцируемы в некоторой окрестности вокруг точки a, причём в этой окрестности (кроме точки a) g(x)0, g(x)0, а в самой точке a f(a)=g(a)=0, то к следующей дроби может быть применена теорема Коши: f(x)g(x)=f(x)f(a)g(x)g(a)=f(x)g(x), где x – некоторая точка, лежащая между А и Х. Тогда limxaf(x)g(x)=limxaf(x)g(x)=limxaf(x)g(x) (доказательство последнего равенства довольно забавно, но я его опущу, чтобы не перегружать пост).

Пример (из головы). При x=0 верно: sinxx=0 и x3=0, а при x0 имеем x30 и (x3)=3x20, поэтому limx0sinxxx3=limx0(sinxx)(x3)=limx0cosx13x2=limx0cos2x13x2(cosx+1)=13limx0sin2xx2(cosx+1)=16. Конечно, тут можно было бы продифференцировать три раза, но можно обойтись и одним дифференцированием.

Задание: Демидович № 1320, 1326, 1330.

Комментариев нет »

No comments yet.

RSS feed for comments on this post.

Leave a comment

Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.

Хостингом угостил Вадим "Moose" Калинников