Логично расширить идею разложения, которое использовалось при определении дифференциала: если у приращения функции можно выделить линейную часть по приращению аргумента, то почему нельзя выделить части, зависящие от приращения аргумента квадратично, кубично и так далее? Эта мысль воплощается в способе разложения функций, который называется формулой Тейлора. Согласно ей, вокруг точки x0 f(x)=n∑k=0ak(x−x0)k+R, причём коэффициенты ak не зависят от x и вычисляются по формуле ak=f(k)(x0)k!; а R называется остаточным членом и оценивается разными способами.
Если констатируется, что (это доказывается отдельно) limx→x0R(x−x0)n=0⟹R=o((x−x0)n), то говорят, что остаточный член представлен в форме Пеано. R=f(n+1)(x0+θ(x−x0))(n+1)!(x−x0)n+1,0<θ<1, называется остаточным членом в форме Лагранжа.
Функции, у которых можно вычислить производную любого порядка, раскладываются по формуле Тейлора легко. Например, разложим косинус до нечётной степени вокруг нуля (x0=0): cos(x)=2n+1∑k=0cos(k)(0)k!xk+R=2n+1∑k=0cos(π2k)k!xk+R= разложим сумму по парам чётных (k=2m) и нечётных (k=2m+1) степеней =n∑m=1{cos[π2(2m)](2m)!x2m+cos[π2(2m+1)](2m+1)!x2m+1}+R= заметим, что cos(πm+π2)=0, a cos(πm)=(−1)m =n∑m=1{cos(πm)(2m)!x2m+cos(πm+π2)(2m+1)!x2m+1}+R=n∑m=1(−1)m(2m)!x2m+R, что совпадает из формулы в Демидовиче, приведённой в теоретической части к формуле Тейлора (§10).
Задание: получить разложения для функций ex и sinx из той же части.
Функции, у которых n-я производная не находится в оббщем виде, раскладываются по формуле Тейлора с бОльшим трудом:
Демидович №1386 Разложить tgx по степеням x (то есть вокруг нуля) до степени x5
Находим первые пять производных функции tgx: tg′x=1cos2x tg″x=2sinxcos3x tg(3)x=4sin2x+2cos4x tg(4)x=8sin3x+16sinxcos5x tg(5)x=16sin4x+88sin2x+16cos6x Так как раскладываем вокруг нуля (x0=0), нам потребуются эти производные (с самой функцией) в нуле: tg0=0,tg′0=1,tg″0=0, tg(3)0=2,tg(4)x=0,tg(5)x=16. Так как ak=f(k)(x0)k!, a0=tg00!=0,a1=tg′01!=11=1,a2=0, a3=23!=13,a4=0, a5=165!=161⋅2⋅3⋅4⋅5=42⋅3⋅5=215. Тогда tgx=5∑k=0akxk+R≈a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5=x+13x3+215x5. Впрочем, следует иметь в виду, что получение коэффициентов в формуле Тейлора через производные не всегда удобно и есть разнообразные альтернативные способы. Например, вот тут используются стандартные разложения для решения №1377.
Задание: Демидович № 1385, 1384.
Разложение по формуле Тейлора используется для многого. В частности, его можно применить к вычислению пределов. Пусть, что нам необходимо вычислить предел limx→af(x)g(x), причём обе функции f(x) и g(x) стремятся к нулю (неопределённость вида 00). Пусть также равны нулю их производные всех порядков до n−1, но g(n)(x)≠0. Тогда f(x)=n∑k=0f(k)(x0)k!(x−x0)k+o((x−x0)n)=n−1∑k=0f(k)(x0)k!(x−x0)k+f(n)(x0)k!(x−x0)n+o((x−x0)n)= =f(n)(x0)n!(x−x0)n+o((x−x0)n), и аналочично g(x)=g(n)(x0)n!(x−x0)n+o((x−x0)n). Тогда limx→af(x)g(x)=limx→af(n)(x0)n!(x−x0)n+o((x−x0)n)g(n)(x0)n!(x−x0)n+o((x−x0)n)=limx→af(n)(x0)+n!o((x−x0)n)(x−x0)ng(n)(x0)+n!o((x−x0)n)(x−x0)n=f(n)(x0)g(n)(x0). Пример: №1327 limx→0arcsin2x−2arcsinxx3 f(x)=arcsin2x−2arcsinx g(x)=x3,g′(x)=3x2,g″(x)=6x,g‴(x)=6≠0(n=3), limx→0arcsin2x−2arcsinxx3=f‴(0)6 f′(x)=2√1−(2x)2−2√1−x2 f″(x)=8x√1−(2x)23−2x√1−x23=x(8√1−(2x)23−2√1−x23) f‴(x)=(8√1−(2x)23−2√1−x23)+x(8√1−(2x)23−2√1−x23)′ f‴(0)=8−2+0=6 limx→0arcsin2x−2arcsinxx3=f‴(0)6=66=1 Задание: Демидович № 1319, 1323, 1325.
Если функции f(x) и g(x) непрерывны и дифференцируемы в некоторой окрестности вокруг точки a, причём в этой окрестности (кроме точки a) g′(x)≠0, g(x)≠0, а в самой точке a f(a)=g(a)=0, то к следующей дроби может быть применена теорема Коши: f(x)g(x)=f(x)−f(a)g(x)−g(a)=f′(x∗)g′(x∗), где x∗ – некоторая точка, лежащая между А и Х. Тогда limx→af(x)g(x)=limx→af′(x∗)g′(x∗)=limx→af′(x)g′(x) (доказательство последнего равенства довольно забавно, но я его опущу, чтобы не перегружать пост).
Пример (из головы). При x=0 верно: sinx−x=0 и x3=0, а при x≠0 имеем x3≠0 и (x3)′=3x2≠0, поэтому limx→0sinx−xx3=limx→0(sinx−x)′(x3)′=limx→0cosx−13x2=limx→0cos2x−13x2(cosx+1)=−13limx→0sin2xx2(cosx+1)=−16. Конечно, тут можно было бы продифференцировать три раза, но можно обойтись и одним дифференцированием.
Задание: Демидович № 1320, 1326, 1330.