Поверхностный интеграл 1-го рода функции f(x,y,z) по параметрически заданной поверхности →r(u,v) (где параметры у и в пробегают некую область Ω) обозначается и вычисляется (через обычный двойной интеграл) так: ∬Sf(x,y,z)dS=∬Sf(x(u,v),y(u,v),z(u,v))|→r′u×→r′v|dudv. →r′u и →r′v – касательные векторы к поверхности, их векторное произведение →N=→r′u×→r′v - вектор нормали к поверхности, в интеграл включается его модуль |→r′u×→r′v|=|→N|. Можно также считать, что в формуле (1) dS=|→dS|=|→r′u×→r′vdudv| (в интегралах 2-го рода модуль от →dS брать не придётся).
Можно пересчитать выражение |→r′u×→r′v|, воспользовавшись свойствами смешанного произведения и правилом ``БАЦ-ЦАБ'', так (здесь и далее все квадраты векторов – скалярные): [→r′u×→r′v]2=[→r′u×→r′v]⋅[→r′u×→r′v]=([→r′u×→r′v],→r′u,→r′v)=(→r′u,→r′v,[→r′u×→r′v])= =→r′u⋅[→r′v×[→r′u×→r′v]]=→r′u⋅(→r′u(→r′v⋅→r′v)−→r′v(→r′v⋅→r′u))=(→r′u)2(→r′v)2−(→r′v⋅→r′u), |→r′u×→r′v|=√[→r′u×→r′v]2=√(→r′u)2(→r′v)2−(→r′v⋅→r′u), что (с точностью до обозначений) совпадает с формулой в Демидовиче.
Площадь поверхности равна интегралу 1-го рода по этой поверхности от единицы.
