Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную сверху кривой, заданной параметрически \[ \left\{ \begin{array}{c} x=x\left(t\right),\\ y=y\left(t\right). \end{array}\right. \] Её площадь, как обычно, будет выражаться интегралом \[ S=\intop_{a}^{b}ydx,\quad(a\lt b). \] Но для параметрически заданной кривой \begin{equation} S=\intop_{a}^{b}ydx=\intop_{t_{1}}^{t_{2}}y\left(t\right)\dot{x}\left(t\right)dt,\label{vprav} \end{equation} где $x\left(t_{1}\right)=a$ и $x\left(t_{2}\right)=b$. При этом $x\left(t\right)$ должна быть возрастающей функцией, иначе интеграл будет противоположен площади: \begin{equation} S=\intop_{t_{2}}^{t_{1}}y\left(t\right)\dot{x}\left(t\right)dt=-\intop_{t_{1}}^{t_{2}}y\left(t\right)\dot{x}\left(t\right)dt.\label{vlev} \end{equation} Пусть теперь кривая при прохождении параметра от $t_{1}$ до $t_{2}$ пересекается сама с собой (как, например, на рисунке выше, в точке $A$): \[ \left\{ \begin{array}{c} x\left(t_{1}\right)=x\left(t_{2}\right),\\ y\left(t_{1}\right)=y\left(t_{2}\right). \end{array}\right. \] При этом предположим, что $x\left(t\right)$ возрастает до некоторой точки $t_{1}\lt t^{*}\lt t_{2}$, а после - начинает убывать; при этом до точки $t^{*}$ принимает меньшие значения, чем после точки $t^{*}$ (то есть на рисунке выше петля проходится против часовой стрелки). Найдём площадь фигуры, ограниченной петлёй. Можно заметить, что искомая фигура является дополнением трапеции $AA_{1}BC$ до трапеции $AA_{2}BC$ (точки $A_{1}$ и $A_{2}$ введены только для различения верхней и нижней стороны петли, ничего существенного в них как таковых не происходит). Таким образом, её площадь есть разность площадей трапеций: \[ S=S_{AA_{2}BC}-S_{AA_{1}BC}. \] Последние же легко могут быть найдены по формулам выше. При $t_{1}\lt t\lt t^{*}$ $x\left(t\right)$ возрастает, значит, $S_{AA_{1}BC}$ выражается формулой (\ref{vprav}): \[ S_{AA_{1}BC}=\intop_{t_{1}}^{t^{*}}y\left(t\right)\dot{x}\left(t\right)dt. \] Но после точки прохождение верхней части петли идёт в обратном направлении, и там уже действует формула (\ref{vlev}): \[ S_{AA_{2}BC}=-\intop_{t^{*}}^{t_{2}}y\left(t\right)\dot{x}\left(t\right)dt. \] Теперь подставим и объединим эти интегралы: \[ S=S_{AA_{2}BC}-S_{AA_{1}BC}=-\intop_{t^{*}}^{t_{2}}y\left(t\right)\dot{x}\left(t\right)dt-\intop_{t_{1}}^{t^{*}}y\left(t\right)\dot{x}\left(t\right)dt=-\intop_{t_{1}}^{t_{2}}y\left(t\right)\dot{x}\left(t\right)dt. \] Дальнейшие размышления позволяют обобщить эту формулу на широчайший класс случаев. Для её применимости оказывается достаточно двух условий: кривая не должна самопересекаться между точками $t_{1}$ и $t_{2}$ и при возрастании $t$ она должна обходить фигуру против часовой стрелки. Для примера рассмотрим эллипс (№ 2403, Если не указано иное, здесь и далее примеры даются из Демидовича), заданный уравнением \[ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1. \] Координаты всех точек этого эллипса могут быть заданы формулами \[ \left\{ \begin{array}{c} x=a\cos t,\\ y=b\sin t; \end{array}\right.\qquad0\lt t\lt 2\pi. \] При возрастании $t$ именно против часовой эллипс и будет обходиться. Найдём его площадь: \[ S=-\intop_{0}^{2\pi}y\left(t\right)\dot{x}\left(t\right)dt=-\intop_{0}^{2\pi}b\sin t\frac{d}{dt}\left(a\cos t\right)dt=ab\intop_{0}^{2\pi}\sin^{2}tdt= \] \[ =\frac{ab}{2}\intop_{0}^{2\pi}\left(1-\cos2t\right)dt=\frac{ab}{2}\left.\left(t-\frac{\sin2t}{2}\right)\right|_{0}^{2\pi}=\frac{ab}{2}\left(2\pi-0\right)=\pi ab. \]
Аналогичным образом решить № 2413 и 2416. На дом: 2414.
Далее изучим формулу для площади криволинейного сектора, ограниченного кривой в полярных координатах (читать тут) и применим её (пример есть тут.) решите №№ 2418 — 2421. На дом: 2424, 2424.1. Для тех, кому скучно решать простое: № 2426, 2427.
Во время занятия по расписанию я буду доступен для задания вопросов. Для пользователей токса можно создать группу, в которой будет вестись общее обсуждение — чтобы вопросы не дублировались. Если не получается дописаться по другим каналам — пишите на официальную почту: Timur.Alpin@kpfu.ru; если вовремя увижу — отвечу.
