Решения « Страница сетевой поддержки учеников Тимура Юрьевича Альпина

30.10.2013

к гр. 625

Filed under: пепел — Shine @ 3:09 пп

Сегодня решение уравнения 681 свелось к уравнению
$xy^,_2-y_2=(2x-1)e^{-2x}$ .
Решение искалось в виде $y_2=y_{20}y_{21}$ . Мы быстро нашли, что $y_{20}=x$ , а $y_{21}$ был найден в виде интеграла: $y_{21}=int{}{}{(2/x+1/x^2)e^{-2x} dx}$ .

Этого интеграла я испугался. Ноутбук тоже. А интеграл, меж тем, легко берётся, если заметить, что:
$d/dx (e^{-2x}/x)=-2 e^{-2x}/x - e^{-2x}/x^2 = -(2/x + 1/x^2)e^{-2x}$ ,
и тогда
$int{}{}{(2/x+1/x^2)e^{-2x} dx}=- e^{-2x}/x +C$ .
При C=0 имеем $y_2=x y_{21}=x (- e^{-2x}/x)=- e^{-2x}$ . Вспомнив, что $y_{1}=x$ , запишем общее решение уравнения 681:
$y=C_1 x + hat{C}_2 (- e^{-2x})=C_1 x + C_2 e^{-2x}$ , где $hat{C}_2=-C_2$ ,
что и написано в ответе из задачника.

Возникает вопрос, как можно угадать такую первообразную. Чтобы её не приходилось угадывать, из правой части уравнения можно убрать множитель $e^{mu x}$ , воспользовавшись методом, изложеным здесь.

Comments (0)

16.10.2013

Филиппов №794

Filed under: диф. уравнения — Shine @ 4:30 пп

Решить систему

{ ˙x = 2y− 3x, ˙y = y− 2x.

(1)

(more…)

Comments (0)

14.10.2013

Давно обещал

Filed under: диф. уравнения — Shine @ 1:20 пп

Тов. Ларин интересовался, как решается первое уравнение из третьего варианта

(4xy+ 2y+ x) xdy+ (3xy+ y + x)ydx = 0.

Решается оно так.

(more…)

Comments (0)

12.10.2013

Восстановление дифференцируемой функции

Filed under: ТФКП — Shine @ 3:59 пп

Ещё одно пояснение для гр. 620а.

Условия Коши-Римана позволяют восстановить дифференцируемую функцию
по её действительной или мнимой части, если известно её значение в какой-либо
точке. Например, решить такую задачу:

(more…)

Comments (0)

Другой вид условий Коши-Римана

Filed under: ТФКП — Shine @ 12:55 пп

Вывод для гр. 620а, который я не успел сделать на занятии.

Как известно, комплексное число можно представить как в алгебраической, так и в тригонометрической/показательной формах: $z = x+ iy = reiφ = r (cosφ + isinφ )$ . Действительные числа, фиксирующие комплексное число при этих двух способах его задания, связаны так:

{ x = rcosφ, y = rsinφ.

(1)

(more…)

Comments (0)

Даишев, Кузнецова 2.46

Filed under: ТФКП — Shine @ 12:01 дп

Публикуется для гр.620а.

Решить уравнение

sh (iz ) = - 1.

(more…)

Comments (0)

03.03.2013

Группе 621

Filed under: Домашнее задание,мат. ан. сем. 2,пепел,Решения — Shine @ 4:11 пп

Простите меня, в субботу я наговорил ерунды.

При применении второго метода второй дифференциал при наличии связи мы считали так:

функцию дифференцировали два раза,
В полученный второй дифференциал подставляли приращения некоторых свободных переменных, полученные из уравнения связи.

А он вычисляется сложнее:

Функция дифференцируется однажды;
В первый дифференциал подставляются приращения (до этого места дело уже сделано при исследовании необходимых условий, т.е. когда искались точки возможного экстремума);
Первый дифференциал дифференцируется ещё раз;
Опять подставляются приращения.

Этот алгоритм в нормере №3655 (который мы кое-как, каменными топорами, добили) выглядит так.

(more…)

Comments (0)