Изучая метод неопределённых коэффициентов, мы рассмотрели две разновидности множителей знаменателя: $\left(x-a\right)$ и $\left(x-a\right)^{k}$. Перейдём к третьему типу: $\left(x^{2}+ax+b\right)$. Таким множителям в разложении дроби соответствует слагаемое вида \[ \frac{Ax+B}{x^{2}+ax+b}. \]
25.02.2023
Задания и материалы для дистанционного занятия по мат. анализу в сб. 25.02.2023 (Демидович, № 2334, 2335)
Сначала -- прогрев на прошлую тему.
05.11.2022
Задания и материалы для дистанционного занятия гр. 06-261 в 12:10 в сб. 5.11.2022 (Демидович № 506, 514, 517, 530, 542)
Второй замечательный предел записывается так: \[ \lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}=\lim_{x\to0}\left(1+x\right)^{\frac{1}{x}}=e, \]
Задания и материалы для дистанционного занятия гр. 06-212 в 8:30 в сб. 5.11.2022 (Демидович № 1386, 1327)
Логично расширить идею разложения, которое использовалось при определении дифференциала: если у приращения функции можно выделить линейную часть по приращению аргумента, то почему нельзя выделить части, зависящие от приращения аргумента квадратично, кубично и так далее? Эта мысль воплощается в способе разложения функций, который называется формулой Тейлора. Согласно ей, вокруг точки $x_{0}$ \[ f\left(x\right)=\sum_{k=0}^{n}a_{k}\left(x-x_{0}\right)^{k}+R, \] причём коэффициенты $a_{k}$ не зависят от $x$ и вычисляются по формуле \[ a_{k}=\frac{f^{\left(k\right)}\left(x_{0}\right)}{k!}; \] а $R$ называется остаточным членом и оценивается разными способами.
07.10.2022
Дополнительные размышления по №3814 из Демидовича
Борис Павлович избавил нас от рассмотрения случая, когда $\alpha=\beta$, исключив его условиями задачи. Можно, однако, доказать, что в этом случае интеграл расходится.
Вид интеграл принимает такой:
\[ \int\limits _{0}^{\infty}\frac{\sin^{2}\alpha x}{x}dx \]
02.10.2022
Пояснения по обратным матрицам
Вначале в качестве бонуса объясню, почему $AE=EA=A$, и $AA^{-1}=A^{-1}A=E$. Тут дело даже не в матрицах, и мы перейдём на более высокий уровень абстракции.
(more…)
21.09.2022
Дополнение по №3784
Занесло меня с доказательством равномерной сходимости, исправляюсь.
Итак, мы рассматривали интеграл
\[
\int\limits _{0}^{1}x^{n-1}\ln^{m}xdx=\left(-1\right)^{m}\int\limits _{0}^{\infty}e^{-ny}y^{m}dy.
\]
Пусть $n>1$.
(more…)
04.05.2022
Удар со стороны классика (Анчиков, № 227)
Дано, что для любых $x$ и $y$
\begin{equation}
a_{ijkl}x^{i}y^{j}x^{k}y^{l}=0.\label{eq:usl}
\end{equation}
Доказать, что
\begin{equation}
a_{ijkl}+a_{jkli}+a_{klij}+a_{lijk}=0.\label{vyvod}
\end{equation}
Это утверждение неверно.
Контрпример: рассмотрим такой тензор $a$, что
\[
a_{ijkl}=-a_{kjil}=-a_{ilkj}=a_{klij}.
\]
Тогда условие (\ref{eq:usl}) автоматически выполняется
\[
a_{ijkl}x^{i}y^{j}x^{k}y^{l}=\frac{1}{2}\left(a_{ijkl}x^{i}x^{k}+a_{ijkl}x^{i}x^{k}\right)y^{j}y^{l}=\frac{1}{2}\left(a_{ijkl}x^{i}x^{k}-a_{kjil}x^{i}x^{k}\right)y^{j}y^{l}=
\]
(переименуем $k\leftrightarrow i$)
\[
=\frac{1}{2}\left(a_{ijkl}x^{i}x^{k}-a_{ijkl}x^{k}x^{i}\right)y^{j}y^{l}=0.
\]
Проверим, всегда ли при этом выполняется (\ref{vyvod}). Пусть, в частности, $a_{1123}=-a_{2113}=-a_{1321}=a_{2311}=1$ и $a_{1231}=-a_{3211}=-a_{1132}=a_{3112}=2$. Тогда
\[
a_{1123}+a_{1231}+a_{2311}+a_{3112}=1+2+1+2=6\neq0.
\]
Таким образом, (\ref{vyvod}) выполняется не всегда даже для $n=3$.
08.12.2021
О преодолении одного принципиального затруднения в №122 из Даишева и Никитина
Итак, мы искали
\[
U\left(t,r,\varphi\right)=T\left(t\right)R\left(r\right)\Phi\left(\varphi\right)H\left(h\right),
\]
и получили, что
(more…)
