Страница сетевой поддержки учеников Тимура Юрьевича Альпина

Возникают у ряда товарищей вопросы по плоскостям симметрии. Плоскость симметрии ищется легко.

Допустим, поверхность задаётся уравнением вида \( F(x,y^2,z)=0 \) — т.е. \(y\) входит в него только в квадрате. Тогда если точка \((x,y,z)\) удовлетворяет уравнению и, соответственно, лежит на поверхности — то точка \((x,-y,z)\) тоже удовлетворяет и лежит. Значит, поверхность делится на две симметричные части — состоящие из точек с положительным и отрицательным \(y\), у которых отличается только знак при \(y\). А между этими частями будет лежать плоскость симметрии \(y=0\).

То же самое относится к любой другой координате.

Вышеописанный алгоритм относится к уравнению поверхности в канонической форме, в которой каждая координата присутствует или только в квадрате, или только в первой степени. Если же уравнение записывается не в канонической форме, то его нужно в таковую привести, что сопровождается заменой координат: или сделать сдвиг координатных осей (если не было перекрёстных произведений, как до сегодняшнего дня), или сначала поворот, потом сдвиг.

И если в новых координатах вы получили каноническое уравнение, а по нему определили, по соображениям, аналогичным вышеизложенным, что плоскость симметрии задаётся уравнением \(y_1=0\) — то потом можно вспомнить, что \(y_1\) получилось сдвигом \(y_1=y’+y_0\), а \(y’\) появилось в ходе поворота, и если из уравнений перехода выразить промежуточные переменные через старые, то получится уравнение вида \(y’=\alpha x + \beta y + \gamma z \); а вспомнив — представить плоскость симметрии в старых координатах:
\[y’+y_0=0\]
\[\alpha x + \beta y + \gamma z+y_0=0\]