Вот мы и добрались до того, зачем всё до этого было нужно: как брать интегралы. Применять для этого мы будем дифференцирование и интегрирование по параметрам несобственных интегралов.

(more…)

Несобственные интегралы, зависящие от параметра, и их сходимость

В случае, когда в интеграле присутствует ещё и параметр, от него начинает зависеть не только значение интеграла, но и сам факт его наличия (сходимости). Множество значений параметров, при которых интеграл сходится, называется его областью сходимости. Если параметр один, то это отрезки/интервалы на вещественной оси; но если интервалов становится много – область сходимости оказывается фигурой в более многомерном пространстве.

(more…)

Несобственными интегралами называются некоторые интегралы, доопределённые на те случаи, в которых данная функция на данной области не является интегрируемой.

(more…)

Для дифференцирования интеграла по параметру сначала вспомним общеизвестные факты: \[ \frac{\partial}{\partial y}f\left(u(y),v(y),w(y)\right)=f'_{u}u'_{y}+f'_{v}v'_{y}+f'_{w}w'_{y} \] \[ \int\limits _{a}^{b}f\left(x\right)dx=F\left(b\right)-F\left(a\right) \] \[ \frac{\partial}{\partial b}\int\limits _{a}^{b}f\left(x\right)dx=\frac{\partial}{\partial b}\left[F\left(b\right)-F\left(a\right)\right]=f\left(b\right) \] \[ \frac{\partial}{\partial a}\int\limits _{a}^{b}f\left(x\right)dx=\frac{\partial}{\partial a}\left[F\left(b\right)-F\left(a\right)\right]=-f\left(a\right) \]

(more…)

Двойные интегралы и пределы интегрирования

Двойной интеграл функции $f\left(x,y\right)$ по области интегрирования $\Omega$ на плоскости (за определением которого я отсылаю к лекциям), может быть представлен в виде повторного интеграла, то есть в виде определённого интеграла от определённого интеграла от функции $f\left(x,y\right)$: \[ \iint\limits _{\Omega}f\left(x,y\right)dxdy=\int\limits _{a}^{b}\left[\int\limits _{\alpha(x)}^{\beta(x)}f\left(x,y\right)dy\right]dx=\int\limits _{a}^{b}dx\int\limits _{\alpha(x)}^{\beta(x)}f\left(x,y\right)dy. \]

(more…)