Страница сетевой поддержки учеников Тимура Юрьевича Альпина

Применяя дифференцирование по параметру $a$ (да, в оригинале была $\alpha$, но я заменил), вычислить интеграл $I\left(a\right)$, если: \[ I\left(a\right)=\intop_{0}^{\pi}\ln\left(1-2a\cos x+a^{2}\right)dx,\qquad\left|a\right| < 1 \]

(more…)

Борис Павлович избавил нас от рассмотрения случая, когда $\alpha=\beta$, исключив его условиями задачи. Можно, однако, доказать, что в этом случае интеграл расходится.

Вид интеграл принимает такой:

\[ \int\limits _{0}^{\infty}\frac{\sin^{2}\alpha x}{x}dx \]

(more…)

Определить, сходится ли интеграл \[ \int\limits _{0}^{\infty}\frac{\sin x}{x}e^{-\alpha x}dx \] равномерно при $\alpha\geqslant0$.

(more…)

Найти объём тела, ограниченного поверхностями ($a,b,c > 0$): \[ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=-1,\qquad\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1. \]

(more…)

Найти объём тела, ограниченного поверхностями: \[ z=x^{2}+y^{2},\quad y=x^{2},\quad y=1,\quad z=0. \]

(more…)

Вводя обобщённые полярные координаты, найти площадь, ограниченную кривыми: \[ \frac{x^{3}}{a^{3}}+\frac{y^{3}}{b^{3}}=\frac{x^{2}}{h^{2}}+\frac{y^{2}}{k^{2}},\qquad x=0,\quad y=0. \]

(more…)