Решения « Страница сетевой поддержки учеников Тимура Юрьевича Альпина

11.05.2011

Даишев, Кузнецова 7.10

Filed under: ТФКП — Shine @ 1:20 дп

Очевидно, что единственная кроме бесконечности особая точка функции $f(z)=z^3\,\cos\left(\frac{1}{z-2}\right)$ - это $z=2$ . Используя известное разложение косинуса $\cos x=\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{\frac{\left(-1\right)^{n}\,x^{2\,n}}{ \left(2\,n\right)!}}}$ , представим функцию $f(z)$ так:

$\displaystyle z^3\,\cos \left({\frac{1}{z-2}}\right)= z^3\,\sum_{n=0}^{\infty }{ {\frac{\left(-1\right)^{n}}{\left(2\,n\right)!\,\left(z-2\right)^{2 \,n}}}}=$

$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty }{{\frac{8\,\left(-1\right)^{n}}{\left(2\,n \... ...ac{12\,\left(-1 \right)^{n}\,\left(z-2\right)^{1-2\,n}}{\left(2\,n\right)!}}}$

Для того, чтобы найти вычет в точке $z=2$ , надо из этих сумм выбрать слагаемые, имеющие множитель $(z-2)^{-1}$ . Первая и третья из этих сумм содержат только слагаемые с целыми степенями $(z-2)$ , следовательно, нужные нам слагаемые есть только в этих суммах:

$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty }{{\frac{\left(-1 \right)^{n}\,\left(z-2\righ... ...ac{12\,\left(-1 \right)^{n}\,\left(z-2\right)^{1-2\,n}}{\left(2\,n\right)!}}}$

В первой сумме такое слагаемое соответствует $n=2$ , во второй - $n=1$ . Выпишем нужные слагаемые отдельно:

$\displaystyle {\frac{1}{24\,\left(z-2\right)}} -{\frac{6}{z-2}}.$

Если привести их к общему знаменателю, коеффициентом при $(z-2)^{-1}$ будет число $-\frac{143}{24}$ .

Comments (0)

01.05.2011

Демидович, № 2667

Filed under: мат. ан. сем. 2 — Shine @ 2:01 дп

Исследовать сходимость ряда:

$\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\ln^{100}n}{n}\sin\frac{n\pi}{4}.$

(more…)

Comments (0)

23.03.2011

Гр. 697,

Filed under: пепел — Shine @ 10:47 пп

я вас запутал лишнего. Когда в задаче 4.24 мы рассмотрели функцию $w=\frac{1}{z}$, переводящую смещённую вверх единичную окружность $x^2+(y-1)^2=1$ в смещённую вниз прямую $v=-\frac{1}{2}$, надо было по ней построить функцию, переводящую единичную окружность с центром в нуле в ось действительных чисел: $w=\frac{1}{z+i}+\frac{i}{2}$. И уже эту функцию надо было обращать. При этом мы получили бы функцию $w=-\frac{2iz-1}{2z-i}$, переводящую верхнюю полуплоскость в единичный круг.

Comments (0)