Страница сетевой поддержки учеников Тимура Юрьевича Альпина

Дано, что для любых $x$ и $y$
$$\begin{equation} a_{ijkl}x^{i}y^{j}x^{k}y^{l}=0.\label{eq:usl} \end{equation}$$
Доказать, что
$$\begin{equation} a_{ijkl}+a_{jkli}+a_{klij}+a_{lijk}=0.\label{vyvod} \end{equation}$$

Это утверждение неверно.

Контрпример: рассмотрим такой тензор $a$, что
$$a_{ijkl}=-a_{kjil}=-a_{ilkj}=a_{klij}.$$
Тогда условие ($\ref{eq:usl}$) автоматически выполняется
$$a_{ijkl}x^{i}y^{j}x^{k}y^{l}=\frac{1}{2}\left(a_{ijkl}x^{i}x^{k}+a_{ijkl}x^{i}x^{k}\right)y^{j}y^{l}=\frac{1}{2}\left(a_{ijkl}x^{i}x^{k}-a_{kjil}x^{i}x^{k}\right)y^{j}y^{l}=$$
(переименуем $k\leftrightarrow i$)
$$=\frac{1}{2}\left(a_{ijkl}x^{i}x^{k}-a_{ijkl}x^{k}x^{i}\right)y^{j}y^{l}=0.$$
Проверим, всегда ли при этом выполняется ($\ref{vyvod}$). Пусть, в частности, $a_{1123}=-a_{2113}=-a_{1321}=a_{2311}=1$ и $a_{1231}=-a_{3211}=-a_{1132}=a_{3112}=2$. Тогда
$$a_{1123}+a_{1231}+a_{2311}+a_{3112}=1+2+1+2=6\neq0.$$
Таким образом, ($\ref{vyvod}$) выполняется не всегда даже для $n=3$.

Найти веторный потенциал поля .

(more…)