Изолированная особая точка функции – это точка, в которой функция не аналитична, но в любой окресности этой точки (кроме самой точки) - аналитична. Чем нам будут полезны изолированные особые точки (далее я их буду называть просто особыми точками) и что мы будем с ними делать - зависит от их разновидности.
Основы мы проходили в начале первого курса, так что начало объясню пунктирно.
Если правая часть неоднородного уравнения, записанного в каноническом виде \begin{equation} \sum_{k=0}^{n}a_{k}y^{(k)}=f\left(x\right)\label{eq:main} \end{equation} не относится к одному из рассмотренных выше классов функций, можно воспользоваться методом вариации постоянных. Он более хлопотный, но может применяться в качестве оружия последнего шанса.
Производная от производной называется второй производной $y''\equiv(y')'$, производная второй производной – третьей производной $y'''\equiv(y'')'$ и так далее. Продифференцировав функцию $y$ $n$ раз, мы получим «энную» производную, обозначаемую $y^{(n)}$ (скобки добавляются, чтобы не путать со степенью). Свойства, которыми обладает вторая производная, таковы:
1) Линейность \[ \left(\alpha f\left(x\right)+\beta g\left(x\right)\right)^{(n)}=\alpha f^{(n)}\left(x\right)+\beta g^{(n)}\left(x\right),\qquad\alpha,\beta=const \]
2) Обобщённое правило Лейбница (название неофициальное) \[ \left(uv\right)^{(n)}=\sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}u^{(n-k)}v^{(k)} \] Последнее хорошо запоминается тем, что напоминает формулу для бинома Ньютона, отличаясь от неё в правой части только порядками производных на месте степеней.
Формула Коши была выведена в прошлый раз: \[ f\left(z_{0}\right)=\frac{1}{2\pi i}\oint\limits _{C}\frac{f\left(z\right)}{z-z_{0}}dz, \] где $f\left(z\right)$ – функция, аналитичная во всей области комплексной плоскости, ограниченной замкнутым контуром $C$, $z_{0}$ – точка из внутренности этой области.
Уравнения вида \begin{equation} y'=f\left(\frac{ax+by+c}{px+qy+r}\right)\label{eq:ob_odn} \end{equation}
Всякое уравнение, содержащее более одной переменной, связывает эти переменные. Даже когда мы задаём функцию вида $y=f\left(x\right)$, мы пишем уравнение. Это уравнение уже разрешено относительно переменной $y$, но его можно решить и относительно переменной $x$.
Дифференциальными называются уравнения, содержащие производные одной переменной по другой.
Пара фамильных формул, которые ещё пригодятся на векторном анализе.
(more…)
При определении поверхностных интегралов первого рода использовался модуль вектора $\overrightarrow{dS}$. Для параметрически заданной поверхности он равнялся $\overrightarrow{dS}$=$\left[\vec{r}_{u}^{\prime}\times\vec{r}_{v}^{\prime}\right]dudv$.
Хостингом угостил Вадим "Moose" Калинников
