Поверхностный интеграл 1-го рода функции f(x,y,z) по параметрически заданной поверхности →r(u,v) (где параметры у и в пробегают некую область Ω) обозначается и вычисляется (через обычный двойной интеграл) так: ∬ \vec{r}'_{u} и \vec{r}'_{v} – касательные векторы к поверхности, их векторное произведение \vec{N}=\vec{r}'_{u}\times\vec{r}'_{v} - вектор нормали к поверхности, в интеграл включается его модуль \left|\vec{r}'_{u}\times\vec{r}'_{v}\right|=\left|\vec{N}\right|. Можно также считать, что в формуле \eqref{base} dS=\left|\overrightarrow{dS}\right|=\left|\vec{r}'_{u}\times\vec{r}'_{v}dudv\right| (в интегралах 2-го рода модуль от \overrightarrow{dS} брать не придётся).
Можно пересчитать выражение \left|\vec{r}'_{u}\times\vec{r}'_{v}\right|, воспользовавшись свойствами смешанного произведения и правилом ``БАЦ-ЦАБ'', так (здесь и далее все квадраты векторов – скалярные): \left[\vec{r}'_{u}\times\vec{r}'_{v}\right]^{2}=\left[\vec{r}'_{u}\times\vec{r}'_{v}\right]\cdot\left[\vec{r}'_{u}\times\vec{r}'_{v}\right]=\left(\left[\vec{r}'_{u}\times\vec{r}'_{v}\right],\vec{r}'_{u},\vec{r}'_{v}\right)=\left(\vec{r}'_{u},\vec{r}'_{v},\left[\vec{r}'_{u}\times\vec{r}'_{v}\right]\right)= =\vec{r}'_{u}\cdot\left[\vec{r}'_{v}\times\left[\vec{r}'_{u}\times\vec{r}'_{v}\right]\right]= \vec{r}'_{u}\cdot\left(\vec{r}'_{u}\left(\vec{r}'_{v}\cdot\vec{r}'_{v}\right)-\vec{r}'_{v}\left(\vec{r}'_{v}\cdot\vec{r}'_{u}\right)\right)= (\vec{r}'_{u})^{2} (\vec{r}'_{v})^{2} -\left(\vec{r}'_{v}\cdot\vec{r}'_{u}\right), \left|\vec{r}'_{u}\times\vec{r}'_{v}\right|= \sqrt{\left[\vec{r}'_{u}\times\vec{r}'_{v}\right]^{2}}= \sqrt{(\vec{r}'_{u})^{2}(\vec{r}'_{v})^{2}-\left(\vec{r}'_{v}\cdot\vec{r}'_{u}\right)}, что (с точностью до обозначений) совпадает с формулой в Демидовиче.
Площадь поверхности равна интегралу 1-го рода по этой поверхности от единицы.
