Страница сетевой поддержки учеников Тимура Юрьевича Альпина

Производная от производной называется второй производной $y''\equiv(y')'$, производная второй производной – третьей производной $y'''\equiv(y'')'$ и так далее. Продифференцировав функцию $y$ $n$ раз, мы получим «энную» производную, обозначаемую $y^{(n)}$ (скобки добавляются, чтобы не путать со степенью). Свойства, которыми обладает вторая производная, таковы:

1) Линейность $$\left(\alpha f\left(x\right)+\beta g\left(x\right)\right)^{(n)}=\alpha f^{(n)}\left(x\right)+\beta g^{(n)}\left(x\right),\qquad\alpha,\beta=const$$

2) Обобщённое правило Лейбница (название неофициальное) $$\left(uv\right)^{(n)}=\sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}u^{(n-k)}v^{(k)}$$ Последнее хорошо запоминается тем, что напоминает формулу для бинома Ньютона, отличаясь от неё в правой части только порядками производных на месте степеней.

(more…)