Начну с цитаты из Демидовича:
От себя добавлю, что эта формула очевидно обобщается на любую другую координату. И более того, можно саму систему координат выбрать так, чтобы нужная координатная ось была направлена вдоль наиболее удобного для нас сечения.
Как, основываясь на этом, можно решить задачу, показано на примере номера 2466. Разобрав это решение, решите сами №№ 2462 — 2465.
Случай тел вращения особенен только тем, что в качестве оси, вдоль которой нужно интегрировать площадь сечения, имеет смысл выбрать ось симметрии. Тогда сечение будет являться кругом, а его площадь, подставляемая в интеграл, будет вычисляться по формуле \(S=\pi r^2\). Например, если фигура образована вращением участка графика функции \(y=y(x)\) вокруг оси \(x\) при \(a\leqslant x \leqslant b \), то объём задаётся формулой \[ V=\pi\intop_a^b y^2(x) dx. \] Впрочем, не будет страшно, даже если вращение происходит вокруг оси \(y\); тогда \[ V=\pi\intop_{y_1}^{y_2} x^2 dy=\pi\intop_{x_1}^{x_2} x^2 y'(x) dx, \] правда, в этом случае более внимательно нужно будет выбирать пределы интегрирования. Только при возрастающей функции \(y(x)\) это будут старые \(a\) и \(b\).
Основываясь на этих соображениях, решите №2474 и №2475.
