Вариант 3 №6
Вычислите \[ \cos10^{\circ}\sin20^{\circ}\sin70^{\circ}-\frac{1}{4}\cos40^{\circ}. \]
17.11.2024
04.10.2024
Почему определений ограниченности два, и почему они друг другу не мешают
1) Пусть существуют такие числа $m$ и $M$, что \begin{equation} m < a < M.\label{sep} \end{equation} Докажем, что существует также такое число $C$, что \begin{equation} \left|a\right| < C.\label{mod} \end{equation}
05.09.2024
№ 18 2)
Применяя дифференцирование по параметру $a$ (да, в оригинале была $\alpha$, но я заменил), вычислить интеграл $I\left(a\right)$, если: \[ I\left(a\right)=\intop_{0}^{\pi}\ln\left(1-2a\cos x+a^{2}\right)dx,\qquad\left|a\right| < 1 \]
11.11.2023
Даишев, Кузнецова №8.5 п.5
Доказать, что $a$ является существенно особой точкой для функции \[ e^{\mathrm{tg}\,z},\quad a=\frac{\pi}{2} \] Закрываю дыры в доказательстве.
25.02.2023
Задания и материалы для дистанционного занятия по математике в сб. 25.02.2023 (Демидович, № 1877, 1893)
Изучая метод неопределённых коэффициентов, мы рассмотрели две разновидности множителей знаменателя: $\left(x-a\right)$ и $\left(x-a\right)^{k}$. Перейдём к третьему типу: $\left(x^{2}+ax+b\right)$. Таким множителям в разложении дроби соответствует слагаемое вида \[ \frac{Ax+B}{x^{2}+ax+b}. \]
Задания и материалы для дистанционного занятия по мат. анализу в сб. 25.02.2023 (Демидович, № 2334, 2335)
Сначала -- прогрев на прошлую тему.
05.11.2022
Задания и материалы для дистанционного занятия гр. 06-261 в 12:10 в сб. 5.11.2022 (Демидович № 506, 514, 517, 530, 542)
Второй замечательный предел записывается так: \[ \lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}=\lim_{x\to0}\left(1+x\right)^{\frac{1}{x}}=e, \]
Задания и материалы для дистанционного занятия гр. 06-212 в 8:30 в сб. 5.11.2022 (Демидович № 1386, 1327)
Логично расширить идею разложения, которое использовалось при определении дифференциала: если у приращения функции можно выделить линейную часть по приращению аргумента, то почему нельзя выделить части, зависящие от приращения аргумента квадратично, кубично и так далее? Эта мысль воплощается в способе разложения функций, который называется формулой Тейлора. Согласно ей, вокруг точки $x_{0}$ \[ f\left(x\right)=\sum_{k=0}^{n}a_{k}\left(x-x_{0}\right)^{k}+R, \] причём коэффициенты $a_{k}$ не зависят от $x$ и вычисляются по формуле \[ a_{k}=\frac{f^{\left(k\right)}\left(x_{0}\right)}{k!}; \] а $R$ называется остаточным членом и оценивается разными способами.
07.10.2022
Дополнительные размышления по №3814 из Демидовича
Борис Павлович избавил нас от рассмотрения случая, когда $\alpha=\beta$, исключив его условиями задачи. Можно, однако, доказать, что в этом случае интеграл расходится.
Вид интеграл принимает такой:
\[ \int\limits _{0}^{\infty}\frac{\sin^{2}\alpha x}{x}dx \]
02.10.2022
Пояснения по обратным матрицам
Вначале в качестве бонуса объясню, почему $AE=EA=A$, и $AA^{-1}=A^{-1}A=E$. Тут дело даже не в матрицах, и мы перейдём на более высокий уровень абстракции.
(more…)
