Страница сетевой поддержки учеников Тимура Юрьевича Альпина

Задача на объём — в помощь тем, кто разбирается с телами вращения.

Найти объём тела, полученного при вращении кривой \begin{equation} x^{2}-xy+y^{2}=a^{2}\label{main} \end{equation} вокруг оси $Ox$.

(more...)

Решение, которое я не успел показать, привожу тут. Разобьём исходный интеграл по двум половинам исходного промежутка интегрирования:
\[
\intop_{0}^{2\pi}\frac{dx}{1+\varepsilon\cos x}=\intop_{0}^{\pi}\frac{dx}{1+\varepsilon\cos x}+\intop_{\pi}^{2\pi}\frac{dx}{1+\varepsilon\cos x}=
\]
(more…)

Задача у народа плохо пошла, поэтому выкладываю. Площадь сечения найдена без интегралов, из соображений школьной геометрии.

Найти объём, ограниченный поверхностями
\[
x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2},\qquad x^{2}+y^{2}=ax.
\]
(more…)

Исследовать на сходимость ряд:
\begin{equation}
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\left[3+\left(-1\right)^{n}\right]^{n}}{n}x^{n}.\label{main}
\end{equation}
(more…)

Не успел показать в гр. 06-712, шлю вдогонку.

Воспользуемся формулой:
\[
\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}.
\]
\[
\mathrm{arctg}’\,x=\frac{1}{1+x^{2}}=\frac{1}{1-\left(-x^{2}\right)}=\sum_{n=0}^{\infty}\left(-x^{2}\right)^{n}=\sum_{n=0}^{\infty}\left(-1\right)^{n}x^{2n},
\]
\[
\mathrm{arctg}\,x=\int\sum_{n=0}^{\infty}\left(-1\right)^{n}x^{2n}dx=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{n}}{2n+1}x^{2n+1}+C.
\]
При $x=0$:
\[
\mathrm{arctg}\,0=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{n}}{2n+1}0^{2n+1}+C,
\]
\[
0=0+C,
\]
\[
C=0.
\]
Итого
\[
\mathrm{arctg}\,x=\int\sum_{n=0}^{\infty}\left(-1\right)^{n}x^{2n}dx=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{n}}{2n+1}x^{2n+1}.
\]

Обещал гр. 661, но и гр. 612 будет не вредно посмотреть — это доказательство аккуратнее того, что приводилось на паре.

Рассмотреть сходимость ряда \begin{equation} 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}-\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}-\dots\label{r1} \end{equation}

(more…)

Сегодня у нас совершенно не было времени доказать подробно один мелкий факт: что из бесконечной малости $a_{n+1}$ следует бесконечная малость $a_{n}$. Обобщим его и докажем, как для закрытия оставшейся дыры в рассуждениях, так и для будущего употребления.

(more…)