Линейная система с постоянными коэффициентами имеет вид \begin{equation} \left\{ \begin{array}{l} \dot{x}_{1}=a_{11}x_{1}+\dots+a_{1n}x_{n}+f_{1}\left(t\right)\\ \dot{x}_{2}=a_{21}x_{1}+\dots+a_{2n}x_{n}+f_{2}\left(t\right)\\ .............................\\ \dot{x}_{n}=a_{n1}x_{1}+\dots+a_{nn}x_{n}+f_{n}\left(t\right) \end{array}\right. \end{equation} где $x_{k}\left(t\right)$ – искомые функции, $t$ – независимый аргумент, $a_{jk}$ – постоянные коэффициенты $f_{k}\left(t\right)$ – явно заданные в системе выражения.
23.09.2025
12.09.2025
Задания и материалы для дистанционного занятия гр. 06-461 (Филиппов № 512, 523, 516, 534, 538)
1 Линейное уравнение
Линейным уравнением $n$-го порядка называется уравнение вида \begin{equation} \sum_{k=0}^{n}a_{k}y^{(k)}=f\left(x\right)\label{eq:ur} \end{equation}
04.06.2025
Задания и материалы для дистанционного занятия гр. 06-461 в 13:50 в ср. 4.05.2025 (Филиппов № 428, 429 и 460)
До этого мы рассматривали уравнения первого порядка, теперь перейдём к уравнениям более высоких порядков. \[ F\left(x,y,y',\dots y^{(n)}\right)=0 \] Первое, что приходит в голову при таком переходе – как-нибудь понизить порядок.
09.09.2024
Самостоятельное изучение по д/у для гр. 06-312
Дублирую план на оставшиеся консультации в формате <номер занятия>. <тема>
- Линейные уравнения первого порядка
- Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель
- Уравнения, не разрешённые относительно производной
Мухарлямов — n:
6,7. Уравнения, допускающие понижение порядка.
28.12.2023
Задания и материалы для дистанционного занятия гр. 06-212 в 8:30 в пт. 29.12.2023
Поверхностный интеграл 1-го рода функции $f(x,y,z)$ по параметрически заданной поверхности $\vec{r}(u,v)$ (где параметры $u$ и $v$ пробегают некую область $\Omega$) обозначается и вычисляется (через обычный двойной интеграл) так: \begin{equation} \iint\limits_{S}f(x,y,z)dS=\iint\limits_{S}f(x(u,v),y(u,v),z(u,v))\left|\vec{r}'_{u}\times\vec{r}'_{v}\right|dudv.\label{base} \end{equation} $\vec{r}'_{u}$ и $\vec{r}'_{v}$ – касательные векторы к поверхности, их векторное произведение $\vec{N}=\vec{r}'_{u}\times\vec{r}'_{v}$ - вектор нормали к поверхности, в интеграл включается его модуль $\left|\vec{r}'_{u}\times\vec{r}'_{v}\right|=\left|\vec{N}\right|$. Можно также считать, что в формуле \eqref{base} \[ dS=\left|\overrightarrow{dS}\right|=\left|\vec{r}'_{u}\times\vec{r}'_{v}dudv\right| \] (в интегралах 2-го рода модуль от $\overrightarrow{dS}$ брать не придётся).
Можно пересчитать выражение $\left|\vec{r}'_{u}\times\vec{r}'_{v}\right|$, воспользовавшись свойствами смешанного произведения и правилом ``БАЦ-ЦАБ'', так (здесь и далее все квадраты векторов – скалярные): \[ \left[\vec{r}'_{u}\times\vec{r}'_{v}\right]^{2}=\left[\vec{r}'_{u}\times\vec{r}'_{v}\right]\cdot\left[\vec{r}'_{u}\times\vec{r}'_{v}\right]=\left(\left[\vec{r}'_{u}\times\vec{r}'_{v}\right],\vec{r}'_{u},\vec{r}'_{v}\right)=\left(\vec{r}'_{u},\vec{r}'_{v},\left[\vec{r}'_{u}\times\vec{r}'_{v}\right]\right)= \] \[ =\vec{r}'_{u}\cdot\left[\vec{r}'_{v}\times\left[\vec{r}'_{u}\times\vec{r}'_{v}\right]\right]= \vec{r}'_{u}\cdot\left(\vec{r}'_{u}\left(\vec{r}'_{v}\cdot\vec{r}'_{v}\right)-\vec{r}'_{v}\left(\vec{r}'_{v}\cdot\vec{r}'_{u}\right)\right)= (\vec{r}'_{u})^{2} (\vec{r}'_{v})^{2} -\left(\vec{r}'_{v}\cdot\vec{r}'_{u}\right), \] \[ \left|\vec{r}'_{u}\times\vec{r}'_{v}\right|= \sqrt{\left[\vec{r}'_{u}\times\vec{r}'_{v}\right]^{2}}= \sqrt{(\vec{r}'_{u})^{2}(\vec{r}'_{v})^{2}-\left(\vec{r}'_{v}\cdot\vec{r}'_{u}\right)}, \] что (с точностью до обозначений) совпадает с формулой в Демидовиче.
Площадь поверхности равна интегралу 1-го рода по этой поверхности от единицы.
25.02.2023
Задания и материалы для дистанционного занятия по математике в сб. 25.02.2023 (Демидович, № 1877, 1893)
Изучая метод неопределённых коэффициентов, мы рассмотрели две разновидности множителей знаменателя: $\left(x-a\right)$ и $\left(x-a\right)^{k}$. Перейдём к третьему типу: $\left(x^{2}+ax+b\right)$. Таким множителям в разложении дроби соответствует слагаемое вида \[ \frac{Ax+B}{x^{2}+ax+b}. \]
Задания и материалы для дистанционного занятия по мат. анализу в сб. 25.02.2023 (Демидович, № 2334, 2335)
Сначала -- прогрев на прошлую тему.
05.11.2022
Задания и материалы для дистанционного занятия гр. 06-261 в 12:10 в сб. 5.11.2022 (Демидович № 506, 514, 517, 530, 542)
Второй замечательный предел записывается так: \[ \lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}=\lim_{x\to0}\left(1+x\right)^{\frac{1}{x}}=e, \]
Задания и материалы для дистанционного занятия гр. 06-245 в 10:10 в сб. 5.11.2022 (Демидович № 435, 438, 459, 471, 472, 474.1, 474, 482)
Корни
Из теории мы знаем, что непрерывны (везде, где определены) функции тригонометрические, $e^{x}$, $\ln x$, $x^{\alpha}$, и как частный случай последнего – корни любых степеней. Последнее позволяет вносить предел под корень, если только подкоренное выражение имеет конечный предел.
Задания и материалы для дистанционного занятия гр. 06-212 в 8:30 в сб. 5.11.2022 (Демидович № 1386, 1327)
Логично расширить идею разложения, которое использовалось при определении дифференциала: если у приращения функции можно выделить линейную часть по приращению аргумента, то почему нельзя выделить части, зависящие от приращения аргумента квадратично, кубично и так далее? Эта мысль воплощается в способе разложения функций, который называется формулой Тейлора. Согласно ей, вокруг точки $x_{0}$ \[ f\left(x\right)=\sum_{k=0}^{n}a_{k}\left(x-x_{0}\right)^{k}+R, \] причём коэффициенты $a_{k}$ не зависят от $x$ и вычисляются по формуле \[ a_{k}=\frac{f^{\left(k\right)}\left(x_{0}\right)}{k!}; \] а $R$ называется остаточным членом и оценивается разными способами.
