Итак, мы на прошлом занятии раскладывали функцию $f\left(x\right)$ в ряд Фурье \[ f\left(x\right)=\sum_{n=0}^{\infty}\left(a_{n}\cos\frac{\pi nx}{l}+b_{n}\sin\frac{\pi nx}{l}\right), \] где \[ a_{n}=\frac{1}{l}\intop_{-l}^{l}f\left(x\right)\cos\frac{\pi nx}{l}dx,\qquad a_{0}=\frac{1}{2l}\intop_{-l}^{l}f\left(x\right)dx,\qquad b_{n}=\frac{1}{l}\intop_{-l}^{l}f\left(x\right)\sin\frac{\pi nx}{l}dx. \]
Начнём с простых вещей. Так как \[ \cos\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}\left[\cos\left(\alpha+\beta\right)+\cos\left(\alpha-\beta\right)\right], \] для целых $k,n\geqslant0$
Первый вектор в задаче 1358: (1,1,1,2)
Второй — правильный (1,2,3,-3)
Сегодня решать будем по задачнику И.В. Проскурякова «Сборник задач по линейной алгебре». Я слышал, что он у вас есть.
Пример: №1357 Проверить, что векторы попарно ортогональны, и дополнить их до ортогонального базиса: \[ \vec{e}_{1}=\left(1,-2,2,-3\right) \] \[ \vec{e}_{2}=\left(2,-3,2,4\right) \]
Иногда приходится искать экстремаль функционала \[ J\left[y\right]=\intop_{x_{1}}^{x_{2}}F\left(x,y,y'\right)dx, \] с закреплёнными границами, но не на множестве гладких (т.е. непрерывных вместе с производными) функций, как было до этого момента.
Частным случаем функциональных рядов являются степенные ряды. Степенным рядом называется ряд вида \[ \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n}, \] где $a_{n}$ и $x_{0}$ – постоянные, не зависящие от $x$.
В прошлый раз разбирались функционалы, зависящие от производных выше первой. Функционалы, зависящие от многих функций описываются в том же §4, во второй половине теоретической части. Задачи на них начинаются с № 4.6, решения приведены в конце задачника. Решите № 4.6 и 4.7.
Продолжает тему экстремалей функционалов более сложного вида §7, где рассматриваются функционалы, зависящие от функций многих переменных. Уравнение Эйлера-Остроградского постарайтесь получить сами, оно получается очень похоже на уравнение Эйлера-Пуассона, вывод которого показан в прошлом видео по теме. Решите № 7.1 и 7.4.
Дальше начнутся ситуации, в которых изменяться будет не функционал, а граничные условия. Первым делом рассмотрим функционалы с подвижными границами.
Хостингом угостил Вадим "Moose" Калинников