Страница сетевой поддержки учеников Тимура Юрьевича Альпина

Произведя соответствующую замену переменных, свести двойной интеграл \[ \iint\limits _{\left|x\right|+\left|y\right|\leqslant1}f\left(x+y\right)dxdy \] к однократному.

(more…)

В интеграле \[ \int\limits _{a}^{b}dx\int\limits _{\alpha x}^{\beta x}dyf\left(x,y\right),\qquad0 < a < b,\quad0 < \alpha < \beta, \] перейти к переменным: $u=x$, $v=y/x$ (обратно можно выразить $x=u$, $y=vx=uv$).

(more…)

Переходя к полярным координатам, заменить двойной интеграл \[ \iint\limits _{x^{2}+y^{2}\leqslant x}f\left(\frac{y}{x}\right)dx \] однократным

(more…)

Перейти к полярным координатам и расставить пределы интегрирования в том и в другом порядке в интеграле:

\[
\intop_{0}^{1}dx\intop_{1-x}^{\sqrt{1-x^{2}}}dyf\left(x,y\right)
\]

(more…)

Найти область интегрируемости для интеграла
\begin{equation}
\intop_{0}^{\infty}\frac{\sin x^{q}}{x^{p}}dx.\label{main}
\end{equation}
(more…)

Я вчера неправильно описал интересовавшимся товарищам повёрнутый эллипс в общем случае.

(more…)

Переходя к полярным координатам, найти объемы тел, ограниченных следующими
поверхностями:
\[
z^{2}=xy,\quad x^{2}+y^{2}=a^{2}.
\]
(more…)

  Я уже выкладывал решение этой задачи тут, и будет полезно сначала прочитать то решение – тут процесс описывается с середины. В старом решении площадь была сведена к интегралу с шестыми степенями в знаменателе, а его взятие, невоспроизводимое за разумное время, было совершенно опущено. В этой заметке описывается решение этой задачи без трудовых подвигов.

(more…)

То, что на занятии я пытался объяснить быстро. Если объяснять небыстро, получается так:

Исследовать на сходимость интеграл

(1)

(more…)