Страница сетевой поддержки учеников Тимура Юрьевича Альпина

(more…)

Решение, которое я не успел показать, привожу тут. Разобьём исходный интеграл по двум половинам исходного промежутка интегрирования:
\[
\intop_{0}^{2\pi}\frac{dx}{1+\varepsilon\cos x}=\intop_{0}^{\pi}\frac{dx}{1+\varepsilon\cos x}+\intop_{\pi}^{2\pi}\frac{dx}{1+\varepsilon\cos x}=
\]
(more…)

Найти область интегрируемости для интеграла
\begin{equation}
\intop_{0}^{\infty}\frac{\sin x^{q}}{x^{p}}dx.\label{main}
\end{equation}
(more…)

Задача у народа плохо пошла, поэтому выкладываю. Площадь сечения найдена без интегралов, из соображений школьной геометрии.

Найти объём, ограниченный поверхностями
\[
x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2},\qquad x^{2}+y^{2}=ax.
\]
(more…)

Я пропустил строгое доказательство этого свойства, ограничившись геометрическими рассуждениями. Теперь можно восполнить это упущение.

Пусть
\begin{equation}
a < x_{0} < b\label{us1} \end{equation} и \begin{equation} \left|x-x_{0}\right| < \min\left(\left|a-x_{0}\right|,\left|b-x_{0}\right|\right). \label{us2} \end{equation} Докажем, что \[ a < x < b. \] (more…)

Исследовать на сходимость ряд:
\begin{equation}
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\left[3+\left(-1\right)^{n}\right]^{n}}{n}x^{n}.\label{main}
\end{equation}
(more…)

Не успел показать в гр. 06-712, шлю вдогонку.

Воспользуемся формулой:
\[
\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}.
\]
\[
\mathrm{arctg}’\,x=\frac{1}{1+x^{2}}=\frac{1}{1-\left(-x^{2}\right)}=\sum_{n=0}^{\infty}\left(-x^{2}\right)^{n}=\sum_{n=0}^{\infty}\left(-1\right)^{n}x^{2n},
\]
\[
\mathrm{arctg}\,x=\int\sum_{n=0}^{\infty}\left(-1\right)^{n}x^{2n}dx=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{n}}{2n+1}x^{2n+1}+C.
\]
При $x=0$:
\[
\mathrm{arctg}\,0=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{n}}{2n+1}0^{2n+1}+C,
\]
\[
0=0+C,
\]
\[
C=0.
\]
Итого
\[
\mathrm{arctg}\,x=\int\sum_{n=0}^{\infty}\left(-1\right)^{n}x^{2n}dx=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{n}}{2n+1}x^{2n+1}.
\]