В интеграле \[ \int\limits _{a}^{b}dx\int\limits _{\alpha x}^{\beta x}dyf\left(x,y\right),\qquad0 < a < b,\quad0 < \alpha < \beta, \] перейти к переменным: $u=x$, $v=y/x$ (обратно можно выразить $x=u$, $y=vx=uv$).
28.10.2020
Демидович № 3953
Переходя к полярным координатам, заменить двойной интеграл \[ \iint\limits _{x^{2}+y^{2}\leqslant x}f\left(\frac{y}{x}\right)dxdy \] однократным.
27.10.2020
Демидович № 3944
Перейти к полярным координатам и расставить пределы интегрирования в том и в другом порядке в интеграле:
\[
\intop_{0}^{1}dx\intop_{1-x}^{\sqrt{1-x^{2}}}dyf\left(x,y\right)
\]
31.05.2020
Задания и материалы для дистанционного занятия гр. 06-812 в вт 2.06.2020, 10:10 (Филиппов, №1170, 1175, 1196)
Образовалось одно неучтённое занятие, а так как формально у нас продолжается курс дифференциальных уравнений, хотелось бы показать ещё одну вещь, которая очень пригодится в следующем семестре на математической физике — уравнения в частных производных, хотя бы линейные и хотя бы первого порядка.
Рассмотрим линейное однородное уравнение в частных производных первого порядка в случае трёх независимых переменных: \begin{equation} Pu_{x}'+Qu_{y}'+Ru_{z}'=0,\label{or_odn} \end{equation} где $P,Q,R$ зависят от $x,y,z$.
Задания и материалы для дистанционного занятия гр. 06-922 в 11:50 в пн. 1.06.2020 (Демидович № 3887, 3890)
Помимо рядов, кусочно-непрерывную и интегрируемую функцию $f\left(x\right)$ можно представить в виде интеграла Фурье \[ f\left(x\right)=\intop_{0}^{\infty}\left[a\left(\lambda\right)\cos\lambda x+b\left(\lambda\right)\sin\lambda x\right]d\lambda, \] где \[ a\left(\lambda\right)=\frac{1}{\pi}\intop_{-\infty}^{\infty}f\left(\xi\right)\cos\lambda\xi\,d\xi,\qquad b\left(\lambda\right)=\frac{1}{\pi}\intop_{-\infty}^{\infty}f\left(\xi\right)\sin\lambda\xi\,d\xi. \]
25.05.2020
Демидович, №2835
Разложим ряд на два, с $n < 0$ и $n\geqslant0$: \[ \sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{x^{n}}{2^{n^{2}}}=\sum_{n=-\infty}^{-1}\frac{x^{n}}{2^{n^{2}}}+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{2^{n^{2}}}. \]
24.05.2020
Задания и материалы для дистанционного занятия гр. 06-922 в 11:50 в вт. 26.05.2020 и гр. 06-912 в 8:30 в пн. 1.06.2020 (Демидович № 2939)
Итак, мы на прошлом занятии раскладывали функцию $f\left(x\right)$ в ряд Фурье \[ f\left(x\right)=\sum_{n=0}^{\infty}\left(a_{n}\cos\frac{\pi nx}{l}+b_{n}\sin\frac{\pi nx}{l}\right), \] где \[ a_{n}=\frac{1}{l}\intop_{-l}^{l}f\left(x\right)\cos\frac{\pi nx}{l}dx,\qquad a_{0}=\frac{1}{2l}\intop_{-l}^{l}f\left(x\right)dx,\qquad b_{n}=\frac{1}{l}\intop_{-l}^{l}f\left(x\right)\sin\frac{\pi nx}{l}dx. \]
Задания и материалы для дистанционного занятия гр. 06-912 в 8:30 и гр. 06-922 в 11:50 в пн. 25.05.2020 (Демидович № 2944)
Начнём с простых вещей. Так как \[ \cos\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}\left[\cos\left(\alpha+\beta\right)+\cos\left(\alpha-\beta\right)\right], \] для целых $k,n\geqslant0$
20.05.2020
Задания и материалы для дистанционного занятия гр. 06-922 в 8:30 ср. 20.05.2020 (Проскуряков № 1357, 1361, 1574)
Сегодня решать будем по задачнику И.В. Проскурякова «Сборник задач по линейной алгебре». Я слышал, что он у вас есть.
Пример: №1357 Проверить, что векторы попарно ортогональны, и дополнить их до ортогонального базиса: \[ \vec{e}_{1}=\left(1,-2,2,-3\right) \] \[ \vec{e}_{2}=\left(2,-3,2,4\right) \]
16.05.2020
Задания и материалы для дистанционного занятия гр. 06-922 в 11:50 пн. 18.05.2020 и гр. 06-912 в 11:50 в вт. 19.05.2020 (Демидович № 2813, 2822, 2853, 2854)
Степенной ряд
Частным случаем функциональных рядов являются степенные ряды. Степенным рядом называется ряд вида \[ \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n}, \] где $a_{n}$ и $x_{0}$ – постоянные, не зависящие от $x$.
