Борис Павлович избавил нас от рассмотрения случая, когда $\alpha=\beta$, исключив его условиями задачи. Можно, однако, доказать, что в этом случае интеграл расходится.
Вид интеграл принимает такой:
\[ \int\limits _{0}^{\infty}\frac{\sin^{2}\alpha x}{x}dx \]
Вначале в качестве бонуса объясню, почему $AE=EA=A$, и $AA^{-1}=A^{-1}A=E$. Тут дело даже не в матрицах, и мы перейдём на более высокий уровень абстракции.
(more…)
Занесло меня с доказательством равномерной сходимости, исправляюсь.
Итак, мы рассматривали интеграл
\[
\int\limits _{0}^{1}x^{n-1}\ln^{m}xdx=\left(-1\right)^{m}\int\limits _{0}^{\infty}e^{-ny}y^{m}dy.
\]
Пусть $n>1$.
(more…)
Дано, что для любых $x$ и $y$
\begin{equation}
a_{ijkl}x^{i}y^{j}x^{k}y^{l}=0.\label{eq:usl}
\end{equation}
Доказать, что
\begin{equation}
a_{ijkl}+a_{jkli}+a_{klij}+a_{lijk}=0.\label{vyvod}
\end{equation}
Это утверждение неверно.
Контрпример: рассмотрим такой тензор $a$, что
\[
a_{ijkl}=-a_{kjil}=-a_{ilkj}=a_{klij}.
\]
Тогда условие (\ref{eq:usl}) автоматически выполняется
\[
a_{ijkl}x^{i}y^{j}x^{k}y^{l}=\frac{1}{2}\left(a_{ijkl}x^{i}x^{k}+a_{ijkl}x^{i}x^{k}\right)y^{j}y^{l}=\frac{1}{2}\left(a_{ijkl}x^{i}x^{k}-a_{kjil}x^{i}x^{k}\right)y^{j}y^{l}=
\]
(переименуем $k\leftrightarrow i$)
\[
=\frac{1}{2}\left(a_{ijkl}x^{i}x^{k}-a_{ijkl}x^{k}x^{i}\right)y^{j}y^{l}=0.
\]
Проверим, всегда ли при этом выполняется (\ref{vyvod}). Пусть, в частности, $a_{1123}=-a_{2113}=-a_{1321}=a_{2311}=1$ и $a_{1231}=-a_{3211}=-a_{1132}=a_{3112}=2$. Тогда
\[
a_{1123}+a_{1231}+a_{2311}+a_{3112}=1+2+1+2=6\neq0.
\]
Таким образом, (\ref{vyvod}) выполняется не всегда даже для $n=3$.
Итак, мы искали
\[
U\left(t,r,\varphi\right)=T\left(t\right)R\left(r\right)\Phi\left(\varphi\right)H\left(h\right),
\]
и получили, что
(more…)
Изолированная особая точка функции – это точка, в которой функция не аналитична, но в любой окресности этой точки (кроме самой точки) - аналитична. Чем нам будут полезны изолированные особые точки (далее я их буду называть просто особыми точками) и что мы будем с ними делать - зависит от их разновидности.
Основы мы проходили в начале первого курса, так что начало объясню пунктирно.
Если правая часть неоднородного уравнения, записанного в каноническом виде \begin{equation} \sum_{k=0}^{n}a_{k}y^{(k)}=f\left(x\right)\label{eq:main} \end{equation} не относится к одному из рассмотренных выше классов функций, можно воспользоваться методом вариации постоянных. Он более хлопотный, но может применяться в качестве оружия последнего шанса.
Производная от производной называется второй производной $y''\equiv(y')'$, производная второй производной – третьей производной $y'''\equiv(y'')'$ и так далее. Продифференцировав функцию $y$ $n$ раз, мы получим «энную» производную, обозначаемую $y^{(n)}$ (скобки добавляются, чтобы не путать со степенью). Свойства, которыми обладает вторая производная, таковы:
1) Линейность \[ \left(\alpha f\left(x\right)+\beta g\left(x\right)\right)^{(n)}=\alpha f^{(n)}\left(x\right)+\beta g^{(n)}\left(x\right),\qquad\alpha,\beta=const \]
2) Обобщённое правило Лейбница (название неофициальное) \[ \left(uv\right)^{(n)}=\sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}u^{(n-k)}v^{(k)} \] Последнее хорошо запоминается тем, что напоминает формулу для бинома Ньютона, отличаясь от неё в правой части только порядками производных на месте степеней.
Хостингом угостил Вадим "Moose" Калинников